Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12323 / 28663
↖ ↑ ↗
← S 79.152743°
W 44.615479°		 ← 229.90 m → S 79.152743°
W 44.604492°		 →
↑
229.87 m
↓
↑
229.87 m
↓
S 79.154810°
W 44.615479°		 ← 229.86 m →
52 842 m²		 S 79.154810°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376083374023438 y=0.874740600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376083374023438 × 215)
    floor (0.376083374023438 × 32768)
    floor (12323.5)     		tx = 12323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874740600585938 × 215)
    floor (0.874740600585938 × 32768)
    floor (28663.5)     		ty = 28663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12323 / 28663 ti = "15/12323/28663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12323/28663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12323 ÷ 215
    12323 ÷ 32768     		x = 0.376068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28663 ÷ 215
    28663 ÷ 32768     		y = 0.874725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.24786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77868700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.74945068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35446876173868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77868700} λ = -0.77868700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35446876173868))-π/2
    2×atan(0.094943930988559)-π/2
    2×0.0946601781805738-π/2
    0.189320356361148-1.57079632675     		φ = -1.38147597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77868700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.615479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38147597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.152743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12323 KachelY 28663 -0.77868700 -1.38147597 -44.615479 -79.152743
    Oben rechts KachelX + 1 12324 KachelY 28663 -0.77849525 -1.38147597 -44.604492 -79.152743
    Unten links KachelX 12323 KachelY + 1 28664 -0.77868700 -1.38151205 -44.615479 -79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 12324 KachelY + 1 28664 -0.77849525 -1.38151205 -44.604492 -79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38147597--1.38151205) × R
    3.60799999998829e-05 × 6371000     		dl = 229.865679999254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38147597--1.38151205) × R
    3.60799999998829e-05 × 6371000     		dr = 229.865679999254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77868700--0.77849525) × cos(-1.38147597) × R
    0.000191750000000046 × 0.188191438903736 × 6371000     		do = 229.902048278836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77868700--0.77849525) × cos(-1.38151205) × R
    0.000191750000000046 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 229.858758932243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38147597)-sin(-1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188191438903736-0.188156003445525)×R²
    abs(-0.77849525--0.77868700)×3.54354582109695e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54354582109695e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54354582109695e-05×40589641000000     		ar = 52841.6152989705m²