Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12323 / 12899
↖ ↑ ↗
← S 71.321915°
E 90.769043°		 ← 782.44 m → S 71.321915°
E 90.791015°		 →
↑
782.30 m
↓
↑
782.30 m
↓
S 71.328950°
E 90.769043°		 ← 782.16 m →
611 989 m²		 S 71.328950°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752166748046875 y=0.787322998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752166748046875 × 214)
    floor (0.752166748046875 × 16384)
    floor (12323.5)     		tx = 12323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787322998046875 × 214)
    floor (0.787322998046875 × 16384)
    floor (12899.5)     		ty = 12899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12323 / 12899 ti = "14/12323/12899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12323/12899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12323 ÷ 214
    12323 ÷ 16384     		x = 0.75213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12899 ÷ 214
    12899 ÷ 16384     		y = 0.78729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75213623046875 × 2 - 1) × π
    0.5042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58421866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.5745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80511189209283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58421866} λ = 1.58421866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80511189209283))-π/2
    2×atan(0.164456054215549)-π/2
    2×0.162997043252285-π/2
    0.32599408650457-1.57079632675     		φ = -1.24480224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58421866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24480224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.321915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12323 KachelY 12899 1.58421866 -1.24480224 90.769043 -71.321915
    Oben rechts KachelX + 1 12324 KachelY 12899 1.58460215 -1.24480224 90.791015 -71.321915
    Unten links KachelX 12323 KachelY + 1 12900 1.58421866 -1.24492503 90.769043 -71.328950
    Unten rechts KachelX + 1 12324 KachelY + 1 12900 1.58460215 -1.24492503 90.791015 -71.328950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24480224--1.24492503) × R
    0.000122790000000039 × 6371000     		dl = 782.29509000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24480224--1.24492503) × R
    0.000122790000000039 × 6371000     		dr = 782.29509000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58421866-1.58460215) × cos(-1.24480224) × R
    0.000383490000000153 × 0.320250675003323 × 6371000     		do = 782.441185675915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58421866-1.58460215) × cos(-1.24492503) × R
    0.000383490000000153 × 0.320134349590218 × 6371000     		du = 782.156977706163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24480224)-sin(-1.24492503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320250675003323-0.320134349590218)×R²
    abs(1.58460215-1.58421866)×0.000116325413105578×R²
    0.000383490000000153×0.000116325413105578×6371000²
    0.000383490000000153×0.000116325413105578×40589641000000     		ar = 611988.731287146m²