Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12323 / 12898
↖ ↑ ↗
← S 71.314876°
E 90.769043°		 ← 782.73 m → S 71.314876°
E 90.791015°		 →
↑
782.61 m
↓
↑
782.61 m
↓
S 71.321915°
E 90.769043°		 ← 782.44 m →
612 460 m²		 S 71.321915°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752166748046875 y=0.787261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752166748046875 × 214)
    floor (0.752166748046875 × 16384)
    floor (12323.5)     		tx = 12323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787261962890625 × 214)
    floor (0.787261962890625 × 16384)
    floor (12898.5)     		ty = 12898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12323 / 12898 ti = "14/12323/12898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12323/12898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12323 ÷ 214
    12323 ÷ 16384     		x = 0.75213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12898 ÷ 214
    12898 ÷ 16384     		y = 0.7872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75213623046875 × 2 - 1) × π
    0.5042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58421866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80472839689587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58421866} λ = 1.58421866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80472839689587))-π/2
    2×atan(0.164519134417156)-π/2
    2×0.163058461705834-π/2
    0.326116923411668-1.57079632675     		φ = -1.24467940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58421866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24467940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.314876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12323 KachelY 12898 1.58421866 -1.24467940 90.769043 -71.314876
    Oben rechts KachelX + 1 12324 KachelY 12898 1.58460215 -1.24467940 90.791015 -71.314876
    Unten links KachelX 12323 KachelY + 1 12899 1.58421866 -1.24480224 90.769043 -71.321915
    Unten rechts KachelX + 1 12324 KachelY + 1 12899 1.58460215 -1.24480224 90.791015 -71.321915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24467940--1.24480224) × R
    0.000122839999999957 × 6371000     		dl = 782.613639999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24467940--1.24480224) × R
    0.000122839999999957 × 6371000     		dr = 782.613639999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58421866-1.58460215) × cos(-1.24467940) × R
    0.000383490000000153 × 0.320367042952561 × 6371000     		do = 782.725497570575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58421866-1.58460215) × cos(-1.24480224) × R
    0.000383490000000153 × 0.320250675003323 × 6371000     		du = 782.441185675915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24467940)-sin(-1.24480224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320367042952561-0.320250675003323)×R²
    abs(1.58460215-1.58421866)×0.000116367949237972×R²
    0.000383490000000153×0.000116367949237972×6371000²
    0.000383490000000153×0.000116367949237972×40589641000000     		ar = 612460.39836042m²