Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123228 / 25300
↖ ↑ ↗
← N 73.462857°
E158.455810°		 ← 86.94 m → N 73.462857°
E158.458557°		 →
↑
86.96 m
↓
↑
86.96 m
↓
N 73.462075°
E158.455810°		 ← 86.94 m →
7 560 m²		 N 73.462075°
E158.458557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940158843994141 y=0.193027496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940158843994141 × 217)
    floor (0.940158843994141 × 131072)
    floor (123228.5)     		tx = 123228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193027496337891 × 217)
    floor (0.193027496337891 × 131072)
    floor (25300.5)     		ty = 25300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123228 / 25300 ti = "17/123228/25300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123228/25300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123228 ÷ 217
    123228 ÷ 131072     		x = 0.940155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25300 ÷ 217
    25300 ÷ 131072     		y = 0.193023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940155029296875 × 2 - 1) × π
    0.88031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76557561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193023681640625 × 2 - 1) × π
    0.61395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92878909311258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76557561} λ = 2.76557561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92878909311258))-π/2
    2×atan(6.88117273516955)-π/2
    2×1.42648252698991-π/2
    2.85296505397981-1.57079632675     		φ = 1.28216873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76557561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28216873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.462857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123228 KachelY 25300 2.76557561 1.28216873 158.455810 73.462857
    Oben rechts KachelX + 1 123229 KachelY 25300 2.76562355 1.28216873 158.458557 73.462857
    Unten links KachelX 123228 KachelY + 1 25301 2.76557561 1.28215508 158.455810 73.462075
    Unten rechts KachelX + 1 123229 KachelY + 1 25301 2.76562355 1.28215508 158.458557 73.462075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28216873-1.28215508) × R
    1.36500000000872e-05 × 6371000     		dl = 86.9641500005556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28216873-1.28215508) × R
    1.36500000000872e-05 × 6371000     		dr = 86.9641500005556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76557561-2.76562355) × cos(1.28216873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284636859257524 × 6371000     		do = 86.9354233699482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76557561-2.76562355) × cos(1.28215508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284649944604418 × 6371000     		du = 86.9394199717063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28216873)-sin(1.28215508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284636859257524-0.284649944604418)×R²
    abs(2.76562355-2.76557561)×1.30853468934267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30853468934267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30853468934267e-05×40589641000000     		ar = 7560.43897876368m²