Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123227 / 25175
↖ ↑ ↗
← N 73.560299°
E158.453064°		 ← 86.42 m → N 73.560299°
E158.455810°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.559522°
E158.453064°		 ← 86.42 m →
7 466 m²		 N 73.559522°
E158.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940151214599609 y=0.192073822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940151214599609 × 217)
    floor (0.940151214599609 × 131072)
    floor (123227.5)     		tx = 123227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192073822021484 × 217)
    floor (0.192073822021484 × 131072)
    floor (25175.5)     		ty = 25175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123227 / 25175 ti = "17/123227/25175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123227/25175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123227 ÷ 217
    123227 ÷ 131072     		x = 0.940147399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25175 ÷ 217
    25175 ÷ 131072     		y = 0.192070007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940147399902344 × 2 - 1) × π
    0.880294799804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.76552768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192070007324219 × 2 - 1) × π
    0.615859985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.93478120556509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76552768} λ = 2.76552768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93478120556509))-π/2
    2×atan(6.92252927879025)-π/2
    2×1.42733286999062-π/2
    2.85466573998124-1.57079632675     		φ = 1.28386941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76552768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.453064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28386941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.560299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123227 KachelY 25175 2.76552768 1.28386941 158.453064 73.560299
    Oben rechts KachelX + 1 123228 KachelY 25175 2.76557561 1.28386941 158.455810 73.560299
    Unten links KachelX 123227 KachelY + 1 25176 2.76552768 1.28385585 158.453064 73.559522
    Unten rechts KachelX + 1 123228 KachelY + 1 25176 2.76557561 1.28385585 158.455810 73.559522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28386941-1.28385585) × R
    1.35600000001901e-05 × 6371000     		dl = 86.390760001211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28386941-1.28385585) × R
    1.35600000001901e-05 × 6371000     		dr = 86.390760001211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76552768-2.76557561) × cos(1.28386941) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283006116337058 × 6371000     		do = 86.419322187153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76552768-2.76557561) × cos(1.28385585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283019121952534 × 6371000     		du = 86.4232936082962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28386941)-sin(1.28385585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283006116337058-0.283019121952534)×R²
    abs(2.76557561-2.76552768)×1.30056154762359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30056154762359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30056154762359e-05×40589641000000     		ar = 7466.00246960389m²