Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123223 / 25173
↖ ↑ ↗
← N 73.561853°
E158.442078°		 ← 86.43 m → N 73.561853°
E158.444824°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.561076°
E158.442078°		 ← 86.43 m →
7 467 m²		 N 73.561076°
E158.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940120697021484 y=0.192058563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940120697021484 × 217)
    floor (0.940120697021484 × 131072)
    floor (123223.5)     		tx = 123223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192058563232422 × 217)
    floor (0.192058563232422 × 131072)
    floor (25173.5)     		ty = 25173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123223 / 25173 ti = "17/123223/25173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123223/25173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123223 ÷ 217
    123223 ÷ 131072     		x = 0.940116882324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25173 ÷ 217
    25173 ÷ 131072     		y = 0.192054748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940116882324219 × 2 - 1) × π
    0.880233764648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.76533593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192054748535156 × 2 - 1) × π
    0.615890502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.93487707936433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76533593} λ = 2.76533593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93487707936433))-π/2
    2×atan(6.92319299978878)-π/2
    2×1.42734643580254-π/2
    2.85469287160507-1.57079632675     		φ = 1.28389654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76533593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.442078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28389654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.561853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123223 KachelY 25173 2.76533593 1.28389654 158.442078 73.561853
    Oben rechts KachelX + 1 123224 KachelY 25173 2.76538387 1.28389654 158.444824 73.561853
    Unten links KachelX 123223 KachelY + 1 25174 2.76533593 1.28388298 158.442078 73.561076
    Unten rechts KachelX + 1 123224 KachelY + 1 25174 2.76538387 1.28388298 158.444824 73.561076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28389654-1.28388298) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dl = 86.3907599997964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28389654-1.28388298) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dr = 86.3907599997964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76533593-2.76538387) × cos(1.28389654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282980095358738 × 6371000     		do = 86.4294050301565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76533593-2.76538387) × cos(1.28388298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282993101078325 × 6371000     		du = 86.4333773116855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28389654)-sin(1.28388298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282980095358738-0.282993101078325)×R²
    abs(2.76538387-2.76533593)×1.30057195867894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30057195867894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30057195867894e-05×40589641000000     		ar = 7466.87357103414m²