Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123221 / 25139
↖ ↑ ↗
← N 73.588258°
E158.436584°		 ← 86.29 m → N 73.588258°
E158.439331°		 →
↑
86.26 m
↓
↑
86.26 m
↓
N 73.587483°
E158.436584°		 ← 86.30 m →
7 444 m²		 N 73.587483°
E158.439331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940105438232422 y=0.191799163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940105438232422 × 217)
    floor (0.940105438232422 × 131072)
    floor (123221.5)     		tx = 123221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191799163818359 × 217)
    floor (0.191799163818359 × 131072)
    floor (25139.5)     		ty = 25139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123221 / 25139 ti = "17/123221/25139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123221/25139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123221 ÷ 217
    123221 ÷ 131072     		x = 0.940101623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25139 ÷ 217
    25139 ÷ 131072     		y = 0.191795349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940101623535156 × 2 - 1) × π
    0.880203247070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.76524005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191795349121094 × 2 - 1) × π
    0.616409301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.93650693395141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76524005} λ = 2.76524005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93650693395141))-π/2
    2×atan(6.93448599812939)-π/2
    2×1.42757686384027-π/2
    2.85515372768054-1.57079632675     		φ = 1.28435740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76524005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.436584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28435740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.588258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123221 KachelY 25139 2.76524005 1.28435740 158.436584 73.588258
    Oben rechts KachelX + 1 123222 KachelY 25139 2.76528799 1.28435740 158.439331 73.588258
    Unten links KachelX 123221 KachelY + 1 25140 2.76524005 1.28434386 158.436584 73.587483
    Unten rechts KachelX + 1 123222 KachelY + 1 25140 2.76528799 1.28434386 158.439331 73.587483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28435740-1.28434386) × R
    1.35400000000896e-05 × 6371000     		dl = 86.2633400005708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28435740-1.28434386) × R
    1.35400000000896e-05 × 6371000     		dr = 86.2633400005708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76524005-2.76528799) × cos(1.28435740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282538042615163 × 6371000     		do = 86.2943907438312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76524005-2.76528799) × cos(1.28434386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282551030916781 × 6371000     		du = 86.2983577054641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28435740)-sin(1.28434386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282538042615163-0.282551030916781)×R²
    abs(2.76528799-2.76524005)×1.29883016176113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29883016176113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29883016176113e-05×40589641000000     		ar = 7444.21347072422m²