Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12322 / 12906
↖ ↑ ↗
← S 71.371109°
E 90.747070°		 ← 780.47 m → S 71.371109°
E 90.769043°		 →
↑
780.32 m
↓
↑
780.32 m
↓
S 71.378127°
E 90.747070°		 ← 780.19 m →
608 909 m²		 S 71.378127°
E 90.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752105712890625 y=0.787750244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752105712890625 × 214)
    floor (0.752105712890625 × 16384)
    floor (12322.5)     		tx = 12322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787750244140625 × 214)
    floor (0.787750244140625 × 16384)
    floor (12906.5)     		ty = 12906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12322 / 12906 ti = "14/12322/12906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12322/12906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12322 ÷ 214
    12322 ÷ 16384     		x = 0.7520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12906 ÷ 214
    12906 ÷ 16384     		y = 0.7877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58383516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80779635847156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58383516} λ = 1.58383516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80779635847156))-π/2
    2×atan(0.16401516950209)-π/2
    2×0.162567738331023-π/2
    0.325135476662046-1.57079632675     		φ = -1.24566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58383516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.371109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12322 KachelY 12906 1.58383516 -1.24566085 90.747070 -71.371109
    Oben rechts KachelX + 1 12323 KachelY 12906 1.58421866 -1.24566085 90.769043 -71.371109
    Unten links KachelX 12322 KachelY + 1 12907 1.58383516 -1.24578333 90.747070 -71.378127
    Unten rechts KachelX + 1 12323 KachelY + 1 12907 1.58421866 -1.24578333 90.769043 -71.378127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24566085--1.24578333) × R
    0.000122480000000147 × 6371000     		dl = 780.320080000936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24566085--1.24578333) × R
    0.000122480000000147 × 6371000     		dr = 780.320080000936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58383516-1.58421866) × cos(-1.24566085) × R
    0.00038349999999987 × 0.319437167609414 × 6371000     		do = 780.473963720713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58383516-1.58421866) × cos(-1.24578333) × R
    0.00038349999999987 × 0.319321102252157 × 6371000     		du = 780.190383728733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24566085)-sin(-1.24578333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319437167609414-0.319321102252157)×R²
    abs(1.58421866-1.58383516)×0.000116065357256667×R²
    0.00038349999999987×0.000116065357256667×6371000²
    0.00038349999999987×0.000116065357256667×40589641000000     		ar = 608908.864990262m²