Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123219 / 25165
↖ ↑ ↗
← N 73.568070°
E158.431091°		 ← 86.40 m → N 73.568070°
E158.433838°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.567293°
E158.431091°		 ← 86.40 m →
7 464 m²		 N 73.567293°
E158.433838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940090179443359 y=0.191997528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940090179443359 × 217)
    floor (0.940090179443359 × 131072)
    floor (123219.5)     		tx = 123219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191997528076172 × 217)
    floor (0.191997528076172 × 131072)
    floor (25165.5)     		ty = 25165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123219 / 25165 ti = "17/123219/25165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123219/25165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123219 ÷ 217
    123219 ÷ 131072     		x = 0.940086364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25165 ÷ 217
    25165 ÷ 131072     		y = 0.191993713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940086364746094 × 2 - 1) × π
    0.880172729492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.76514418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191993713378906 × 2 - 1) × π
    0.616012573242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.93526057456129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76514418} λ = 2.76514418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93526057456129))-π/2
    2×atan(6.92584852020894)-π/2
    2×1.42740068657737-π/2
    2.85480137315474-1.57079632675     		φ = 1.28400505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76514418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.431091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28400505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.568070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123219 KachelY 25165 2.76514418 1.28400505 158.431091 73.568070
    Oben rechts KachelX + 1 123220 KachelY 25165 2.76519212 1.28400505 158.433838 73.568070
    Unten links KachelX 123219 KachelY + 1 25166 2.76514418 1.28399149 158.431091 73.567293
    Unten rechts KachelX + 1 123220 KachelY + 1 25166 2.76519212 1.28399149 158.433838 73.567293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28400505-1.28399149) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dl = 86.3907599997964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28400505-1.28399149) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dr = 86.3907599997964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76514418-2.76519212) × cos(1.28400505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282876018954378 × 6371000     		do = 86.3976174173383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76514418-2.76519212) × cos(1.28399149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282889025090273 × 6371000     		du = 86.4015898260187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28400505)-sin(1.28399149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282876018954378-0.282889025090273)×R²
    abs(2.76519212-2.76514418)×1.30061358953881e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30061358953881e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30061358953881e-05×40589641000000     		ar = 7464.12742073426m²