Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12321 / 20092
↖ ↑ ↗
← S 37.683820°
W 44.637451°		 ← 966.75 m → S 37.683820°
W 44.626465°		 →
↑
966.74 m
↓
↑
966.74 m
↓
S 37.692514°
W 44.637451°		 ← 966.64 m →
934 537 m²		 S 37.692514°
W 44.626465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376022338867188 y=0.613174438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376022338867188 × 215)
    floor (0.376022338867188 × 32768)
    floor (12321.5)     		tx = 12321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613174438476562 × 215)
    floor (0.613174438476562 × 32768)
    floor (20092.5)     		ty = 20092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12321 / 20092 ti = "15/12321/20092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12321/20092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12321 ÷ 215
    12321 ÷ 32768     		x = 0.376007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20092 ÷ 215
    20092 ÷ 32768     		y = 0.6131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.24798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77907049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.711000095164673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77907049} λ = -0.77907049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711000095164673))-π/2
    2×atan(0.491152752263289)-π/2
    2×0.456544793690104-π/2
    0.913089587380207-1.57079632675     		φ = -0.65770674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77907049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65770674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.683820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12321 KachelY 20092 -0.77907049 -0.65770674 -44.637451 -37.683820
    Oben rechts KachelX + 1 12322 KachelY 20092 -0.77887875 -0.65770674 -44.626465 -37.683820
    Unten links KachelX 12321 KachelY + 1 20093 -0.77907049 -0.65785848 -44.637451 -37.692514
    Unten rechts KachelX + 1 12322 KachelY + 1 20093 -0.77887875 -0.65785848 -44.626465 -37.692514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65770674--0.65785848) × R
    0.000151740000000067 × 6371000     		dl = 966.735540000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65770674--0.65785848) × R
    0.000151740000000067 × 6371000     		dr = 966.735540000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77907049--0.77887875) × cos(-0.65770674) × R
    0.000191739999999996 × 0.791396189316895 × 6371000     		do = 966.750227318707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77907049--0.77887875) × cos(-0.65785848) × R
    0.000191739999999996 × 0.79130342100049 × 6371000     		du = 966.6369038125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65770674)-sin(-0.65785848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791396189316895-0.79130342100049)×R²
    abs(-0.77887875--0.77907049)×9.27683164054782e-05×R²
    0.000191739999999996×9.27683164054782e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.27683164054782e-05×40589641000000     		ar = 934537.027915629m²