Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12321 / 12896
↖ ↑ ↗
← S 71.300793°
E 90.725098°		 ← 783.29 m → S 71.300793°
E 90.747070°		 →
↑
783.12 m
↓
↑
783.12 m
↓
S 71.307836°
E 90.725098°		 ← 783.01 m →
613 305 m²		 S 71.307836°
E 90.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752044677734375 y=0.787139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752044677734375 × 214)
    floor (0.752044677734375 × 16384)
    floor (12321.5)     		tx = 12321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787139892578125 × 214)
    floor (0.787139892578125 × 16384)
    floor (12896.5)     		ty = 12896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12321 / 12896 ti = "14/12321/12896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12321/12896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12321 ÷ 214
    12321 ÷ 16384     		x = 0.75201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12896 ÷ 214
    12896 ÷ 16384     		y = 0.787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75201416015625 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58345167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787109375 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58345167} λ = 1.58345167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80396140650195))-π/2
    2×atan(0.164645367416431)-π/2
    2×0.163181365569021-π/2
    0.326362731138042-1.57079632675     		φ = -1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58345167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12321 KachelY 12896 1.58345167 -1.24443360 90.725098 -71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 12322 KachelY 12896 1.58383516 -1.24443360 90.747070 -71.300793
    Unten links KachelX 12321 KachelY + 1 12897 1.58345167 -1.24455652 90.725098 -71.307836
    Unten rechts KachelX + 1 12322 KachelY + 1 12897 1.58383516 -1.24455652 90.747070 -71.307836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24443360--1.24455652) × R
    0.000122919999999915 × 6371000     		dl = 783.12331999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24443360--1.24455652) × R
    0.000122919999999915 × 6371000     		dr = 783.12331999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58345167-1.58383516) × cos(-1.24443360) × R
    0.000383489999999931 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 783.294363631841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58345167-1.58383516) × cos(-1.24455652) × R
    0.000383489999999931 × 0.320483443957733 × 6371000     		du = 783.009890227528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24443360)-sin(-1.24455652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.320483443957733)×R²
    abs(1.58383516-1.58345167)×0.000116434054622305×R²
    0.000383489999999931×0.000116434054622305×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116434054622305×40589641000000     		ar = 613304.69447773m²