Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123201 / 25022
↖ ↑ ↗
← N 73.678808°
E158.381653°		 ← 85.81 m → N 73.678808°
E158.384399°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.678036°
E158.381653°		 ← 85.82 m →
7 364 m²		 N 73.678036°
E158.384399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939952850341797 y=0.190906524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939952850341797 × 217)
    floor (0.939952850341797 × 131072)
    floor (123201.5)     		tx = 123201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190906524658203 × 217)
    floor (0.190906524658203 × 131072)
    floor (25022.5)     		ty = 25022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123201 / 25022 ti = "17/123201/25022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123201/25022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123201 ÷ 217
    123201 ÷ 131072     		x = 0.939949035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25022 ÷ 217
    25022 ÷ 131072     		y = 0.190902709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939949035644531 × 2 - 1) × π
    0.879898071289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.76428132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190902709960938 × 2 - 1) × π
    0.618194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94211555120696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76428132} λ = 2.76428132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94211555120696))-π/2
    2×atan(6.97348814778213)-π/2
    2×1.42836705980538-π/2
    2.85673411961077-1.57079632675     		φ = 1.28593779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76428132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.381653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28593779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.678808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123201 KachelY 25022 2.76428132 1.28593779 158.381653 73.678808
    Oben rechts KachelX + 1 123202 KachelY 25022 2.76432925 1.28593779 158.384399 73.678808
    Unten links KachelX 123201 KachelY + 1 25023 2.76428132 1.28592432 158.381653 73.678036
    Unten rechts KachelX + 1 123202 KachelY + 1 25023 2.76432925 1.28592432 158.384399 73.678036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28593779-1.28592432) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dl = 85.8173700004519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28593779-1.28592432) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dr = 85.8173700004519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76428132-2.76432925) × cos(1.28593779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.281021691669308 × 6371000     		do = 85.8133542422266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76428132-2.76432925) × cos(1.28592432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.281034618821894 × 6371000     		du = 85.8173017037822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28593779)-sin(1.28592432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281021691669308-0.281034618821894)×R²
    abs(2.76432925-2.76428132)×1.29271525853292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29271525853292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29271525853292e-05×40589641000000     		ar = 7364.44575235391m²