Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12320 / 20086
↖ ↑ ↗
← S 37.631635°
W 44.648437°		 ← 967.48 m → S 37.631635°
W 44.637451°		 →
↑
967.44 m
↓
↑
967.44 m
↓
S 37.640335°
W 44.648437°		 ← 967.37 m →
935 921 m²		 S 37.640335°
W 44.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375991821289062 y=0.612991333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375991821289062 × 215)
    floor (0.375991821289062 × 32768)
    floor (12320.5)     		tx = 12320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612991333007812 × 215)
    floor (0.612991333007812 × 32768)
    floor (20086.5)     		ty = 20086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12320 / 20086 ti = "15/12320/20086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12320/20086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12320 ÷ 215
    12320 ÷ 32768     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20086 ÷ 215
    20086 ÷ 32768     		y = 0.61297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.2259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.709849609573792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.709849609573792))-π/2
    2×atan(0.49171814160147)-π/2
    2×0.457000198707105-π/2
    0.91400039741421-1.57079632675     		φ = -0.65679593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65679593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.631635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12320 KachelY 20086 -0.77926224 -0.65679593 -44.648437 -37.631635
    Oben rechts KachelX + 1 12321 KachelY 20086 -0.77907049 -0.65679593 -44.637451 -37.631635
    Unten links KachelX 12320 KachelY + 1 20087 -0.77926224 -0.65694778 -44.648437 -37.640335
    Unten rechts KachelX + 1 12321 KachelY + 1 20087 -0.77907049 -0.65694778 -44.637451 -37.640335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65679593--0.65694778) × R
    0.000151849999999953 × 6371000     		dl = 967.436349999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65679593--0.65694778) × R
    0.000151849999999953 × 6371000     		dr = 967.436349999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77907049) × cos(-0.65679593) × R
    0.000191750000000046 × 0.791952642395883 × 6371000     		do = 967.480432092257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77907049) × cos(-0.65694778) × R
    0.000191750000000046 × 0.791859916310178 × 6371000     		du = 967.367154266461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65679593)-sin(-0.65694778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791952642395883-0.791859916310178)×R²
    abs(-0.77907049--0.77926224)×9.27260857049861e-05×R²
    0.000191750000000046×9.27260857049861e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.27260857049861e-05×40589641000000     		ar = 935920.945174735m²