Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1232 / 1309
↖ ↑ ↗
← S 44.715514°
E 36.562500°		 ← 13.890 km → S 44.715514°
E 36.738281°		 →
↑
13.875 km
↓
↑
13.875 km
↓
S 44.840291°
E 36.562500°		 ← 13.860 km →
192.504 km²		 S 44.840291°
E 36.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601806640625 y=0.639404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601806640625 × 211)
    floor (0.601806640625 × 2048)
    floor (1232.5)     		tx = 1232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639404296875 × 211)
    floor (0.639404296875 × 2048)
    floor (1309.5)     		ty = 1309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1232 / 1309 ti = "11/1232/1309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1232/1309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1232 ÷ 211
    1232 ÷ 2048     		x = 0.6015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1309 ÷ 211
    1309 ÷ 2048     		y = 0.63916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6015625 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63813601} λ = 0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874369049069824))-π/2
    2×atan(0.417125122151226)-π/2
    2×0.395181692734073-π/2
    0.790363385468146-1.57079632675     		φ = -0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1232 KachelY 1309 0.63813601 -0.78043294 36.562500 -44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 1233 KachelY 1309 0.64120397 -0.78043294 36.738281 -44.715514
    Unten links KachelX 1232 KachelY + 1 1310 0.63813601 -0.78261071 36.562500 -44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 1233 KachelY + 1 1310 0.64120397 -0.78261071 36.738281 -44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78043294--0.78261071) × R
    0.00217777000000008 × 6371000     		dl = 13874.5726700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78043294--0.78261071) × R
    0.00217777000000008 × 6371000     		dr = 13874.5726700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63813601-0.64120397) × cos(-0.78043294) × R
    0.00306795999999998 × 0.710608993604276 × 6371000     		do = 13889.5443162437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63813601-0.64120397) × cos(-0.78261071) × R
    0.00306795999999998 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 13859.5620669918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78043294)-sin(-0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710608993604276-0.709075058762226)×R²
    abs(0.64120397-0.63813601)×0.00153393484204944×R²
    0.00306795999999998×0.00153393484204944×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153393484204944×40589641000000     		ar = 192503572.602827m²