Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123199 / 25025
↖ ↑ ↗
← N 73.676493°
E158.376160°		 ← 85.84 m → N 73.676493°
E158.378906°		 →
↑
85.88 m
↓
↑
85.88 m
↓
N 73.675720°
E158.376160°		 ← 85.85 m →
7 372 m²		 N 73.675720°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939937591552734 y=0.190929412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939937591552734 × 217)
    floor (0.939937591552734 × 131072)
    floor (123199.5)     		tx = 123199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190929412841797 × 217)
    floor (0.190929412841797 × 131072)
    floor (25025.5)     		ty = 25025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123199 / 25025 ti = "17/123199/25025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123199/25025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123199 ÷ 217
    123199 ÷ 131072     		x = 0.939933776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25025 ÷ 217
    25025 ÷ 131072     		y = 0.190925598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939933776855469 × 2 - 1) × π
    0.879867553710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.76418544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190925598144531 × 2 - 1) × π
    0.618148803710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.94197174050809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76418544} λ = 2.76418544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94197174050809))-π/2
    2×atan(6.9724853576858)-π/2
    2×1.42834685144815-π/2
    2.85669370289629-1.57079632675     		φ = 1.28589738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76418544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.376160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28589738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.676493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123199 KachelY 25025 2.76418544 1.28589738 158.376160 73.676493
    Oben rechts KachelX + 1 123200 KachelY 25025 2.76423338 1.28589738 158.378906 73.676493
    Unten links KachelX 123199 KachelY + 1 25026 2.76418544 1.28588390 158.376160 73.675720
    Unten rechts KachelX + 1 123200 KachelY + 1 25026 2.76423338 1.28588390 158.378906 73.675720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28589738-1.28588390) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dl = 85.8810800000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28589738-1.28588390) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dr = 85.8810800000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76418544-2.76423338) × cos(1.28589738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281060472974088 × 6371000     		do = 85.8431029428047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76418544-2.76423338) × cos(1.28588390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281073409570556 × 6371000     		du = 85.8470541123538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28589738)-sin(1.28588390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281060472974088-0.281073409570556)×R²
    abs(2.76423338-2.76418544)×1.29365964674499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29365964674499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29365964674499e-05×40589641000000     		ar = 7372.46805672274m²