Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123199 / 25023
↖ ↑ ↗
← N 73.678036°
E158.376160°		 ← 85.84 m → N 73.678036°
E158.378906°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.677265°
E158.376160°		 ← 85.84 m →
7 366 m²		 N 73.677265°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939937591552734 y=0.190914154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939937591552734 × 217)
    floor (0.939937591552734 × 131072)
    floor (123199.5)     		tx = 123199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190914154052734 × 217)
    floor (0.190914154052734 × 131072)
    floor (25023.5)     		ty = 25023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123199 / 25023 ti = "17/123199/25023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123199/25023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123199 ÷ 217
    123199 ÷ 131072     		x = 0.939933776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25023 ÷ 217
    25023 ÷ 131072     		y = 0.190910339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939933776855469 × 2 - 1) × π
    0.879867553710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.76418544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190910339355469 × 2 - 1) × π
    0.618179321289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.94206761430733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76418544} λ = 2.76418544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94206761430733))-π/2
    2×atan(6.97315386839301)-π/2
    2×1.4283603239962-π/2
    2.85672064799239-1.57079632675     		φ = 1.28592432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76418544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.376160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28592432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.678036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123199 KachelY 25023 2.76418544 1.28592432 158.376160 73.678036
    Oben rechts KachelX + 1 123200 KachelY 25023 2.76423338 1.28592432 158.378906 73.678036
    Unten links KachelX 123199 KachelY + 1 25024 2.76418544 1.28591085 158.376160 73.677265
    Unten rechts KachelX + 1 123200 KachelY + 1 25024 2.76423338 1.28591085 158.378906 73.677265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28592432-1.28591085) × R
    1.34699999998489e-05 × 6371000     		dl = 85.8173699990372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28592432-1.28591085) × R
    1.34699999998489e-05 × 6371000     		dr = 85.8173699990372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76418544-2.76423338) × cos(1.28592432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281034618821894 × 6371000     		do = 85.8352064192385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76418544-2.76423338) × cos(1.28591085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281047545923488 × 6371000     		du = 85.8391546888089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28592432)-sin(1.28591085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281034618821894-0.281047545923488)×R²
    abs(2.76423338-2.76418544)×1.29271015940069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29271015940069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29271015940069e-05×40589641000000     		ar = 7366.32108355498m²