Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123196 / 25020
↖ ↑ ↗
← N 73.680352°
E158.367920°		 ← 85.82 m → N 73.680352°
E158.370667°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.679580°
E158.367920°		 ← 85.83 m →
7 365 m²		 N 73.679580°
E158.370667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939914703369141 y=0.190891265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939914703369141 × 217)
    floor (0.939914703369141 × 131072)
    floor (123196.5)     		tx = 123196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190891265869141 × 217)
    floor (0.190891265869141 × 131072)
    floor (25020.5)     		ty = 25020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123196 / 25020 ti = "17/123196/25020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123196/25020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123196 ÷ 217
    123196 ÷ 131072     		x = 0.939910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25020 ÷ 217
    25020 ÷ 131072     		y = 0.190887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939910888671875 × 2 - 1) × π
    0.87982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76404163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190887451171875 × 2 - 1) × π
    0.61822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9422114250062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76404163} λ = 2.76404163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9422114250062))-π/2
    2×atan(6.97415675463524)-π/2
    2×1.42838053049415-π/2
    2.85676106098829-1.57079632675     		φ = 1.28596473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76404163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.367920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28596473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.680352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123196 KachelY 25020 2.76404163 1.28596473 158.367920 73.680352
    Oben rechts KachelX + 1 123197 KachelY 25020 2.76408957 1.28596473 158.370667 73.680352
    Unten links KachelX 123196 KachelY + 1 25021 2.76404163 1.28595126 158.367920 73.679580
    Unten rechts KachelX + 1 123197 KachelY + 1 25021 2.76408957 1.28595126 158.370667 73.679580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28596473-1.28595126) × R
    1.34699999998489e-05 × 6371000     		dl = 85.8173699990372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28596473-1.28595126) × R
    1.34699999998489e-05 × 6371000     		dr = 85.8173699990372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76404163-2.76408957) × cos(1.28596473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280995837211174 × 6371000     		do = 85.823361517086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76404163-2.76408957) × cos(1.28595126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281008764465734 × 6371000     		du = 85.8273098333763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28596473)-sin(1.28595126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280995837211174-0.281008764465734)×R²
    abs(2.76408957-2.76404163)×1.29272545604797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29272545604797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29272545604797e-05×40589641000000     		ar = 7365.30458725106m²