Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123192 / 25134
↖ ↑ ↗
← N 73.592138°
E158.356933°		 ← 86.27 m → N 73.592138°
E158.359680°		 →
↑
86.26 m
↓
↑
86.26 m
↓
N 73.591362°
E158.356933°		 ← 86.28 m →
7 443 m²		 N 73.591362°
E158.359680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939884185791016 y=0.191761016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939884185791016 × 217)
    floor (0.939884185791016 × 131072)
    floor (123192.5)     		tx = 123192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191761016845703 × 217)
    floor (0.191761016845703 × 131072)
    floor (25134.5)     		ty = 25134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123192 / 25134 ti = "17/123192/25134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123192/25134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123192 ÷ 217
    123192 ÷ 131072     		x = 0.93988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25134 ÷ 217
    25134 ÷ 131072     		y = 0.191757202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93988037109375 × 2 - 1) × π
    0.8797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76384988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191757202148438 × 2 - 1) × π
    0.616485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93674661844951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76384988} λ = 2.76384988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93674661844951))-π/2
    2×atan(6.93614828612981)-π/2
    2×1.42761071994239-π/2
    2.85522143988477-1.57079632675     		φ = 1.28442511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76384988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28442511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.592138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123192 KachelY 25134 2.76384988 1.28442511 158.356933 73.592138
    Oben rechts KachelX + 1 123193 KachelY 25134 2.76389782 1.28442511 158.359680 73.592138
    Unten links KachelX 123192 KachelY + 1 25135 2.76384988 1.28441157 158.356933 73.591362
    Unten rechts KachelX + 1 123193 KachelY + 1 25135 2.76389782 1.28441157 158.359680 73.591362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28442511-1.28441157) × R
    1.35399999998675e-05 × 6371000     		dl = 86.2633399991561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28442511-1.28441157) × R
    1.35399999998675e-05 × 6371000     		dr = 86.2633399991561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76384988-2.76389782) × cos(1.28442511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282473090737399 × 6371000     		do = 86.2745527685007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76384988-2.76389782) × cos(1.28441157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282486079298022 × 6371000     		du = 86.2785198092404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28442511)-sin(1.28441157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282473090737399-0.282486079298022)×R²
    abs(2.76389782-2.76384988)×1.29885606225955e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29885606225955e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29885606225955e-05×40589641000000     		ar = 7442.50218399658m²