Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123191 / 25135
↖ ↑ ↗
← N 73.591362°
E158.354187°		 ← 86.26 m → N 73.591362°
E158.356933°		 →
↑
86.26 m
↓
↑
86.26 m
↓
N 73.590586°
E158.354187°		 ← 86.26 m →
7 441 m²		 N 73.590586°
E158.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939876556396484 y=0.191768646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939876556396484 × 217)
    floor (0.939876556396484 × 131072)
    floor (123191.5)     		tx = 123191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191768646240234 × 217)
    floor (0.191768646240234 × 131072)
    floor (25135.5)     		ty = 25135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123191 / 25135 ti = "17/123191/25135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123191/25135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123191 ÷ 217
    123191 ÷ 131072     		x = 0.939872741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25135 ÷ 217
    25135 ÷ 131072     		y = 0.191764831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939872741699219 × 2 - 1) × π
    0.879745483398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.76380195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191764831542969 × 2 - 1) × π
    0.616470336914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.93669868154989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76380195} λ = 2.76380195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93669868154989))-π/2
    2×atan(6.93581579665499)-π/2
    2×1.42760394934469-π/2
    2.85520789868938-1.57079632675     		φ = 1.28441157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76380195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.354187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28441157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.591362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123191 KachelY 25135 2.76380195 1.28441157 158.354187 73.591362
    Oben rechts KachelX + 1 123192 KachelY 25135 2.76384988 1.28441157 158.356933 73.591362
    Unten links KachelX 123191 KachelY + 1 25136 2.76380195 1.28439803 158.354187 73.590586
    Unten rechts KachelX + 1 123192 KachelY + 1 25136 2.76384988 1.28439803 158.356933 73.590586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28441157-1.28439803) × R
    1.35400000000896e-05 × 6371000     		dl = 86.2633400005708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28441157-1.28439803) × R
    1.35400000000896e-05 × 6371000     		dr = 86.2633400005708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76380195-2.76384988) × cos(1.28441157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282486079298022 × 6371000     		do = 86.2605226212377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76380195-2.76384988) × cos(1.28439803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282499067806856 × 6371000     		du = 86.2644888186619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28441157)-sin(1.28439803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282486079298022-0.282499067806856)×R²
    abs(2.76384988-2.76380195)×1.29885088341886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29885088341886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29885088341886e-05×40589641000000     		ar = 7441.29186027292m²