Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123183 / 25073
↖ ↑ ↗
← N 73.639398°
E158.332214°		 ← 86.03 m → N 73.639398°
E158.334961°		 →
↑
86.01 m
↓
↑
86.01 m
↓
N 73.638624°
E158.332214°		 ← 86.04 m →
7 400 m²		 N 73.638624°
E158.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939815521240234 y=0.191295623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939815521240234 × 217)
    floor (0.939815521240234 × 131072)
    floor (123183.5)     		tx = 123183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191295623779297 × 217)
    floor (0.191295623779297 × 131072)
    floor (25073.5)     		ty = 25073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123183 / 25073 ti = "17/123183/25073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123183/25073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123183 ÷ 217
    123183 ÷ 131072     		x = 0.939811706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25073 ÷ 217
    25073 ÷ 131072     		y = 0.191291809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939811706542969 × 2 - 1) × π
    0.879623413085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.76341845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191291809082031 × 2 - 1) × π
    0.617416381835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.93967076932633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76341845} λ = 2.76341845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93967076932633))-π/2
    2×atan(6.95646031346532)-π/2
    2×1.42802313815869-π/2
    2.85604627631739-1.57079632675     		φ = 1.28524995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76341845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.332214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28524995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.639398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123183 KachelY 25073 2.76341845 1.28524995 158.332214 73.639398
    Oben rechts KachelX + 1 123184 KachelY 25073 2.76346639 1.28524995 158.334961 73.639398
    Unten links KachelX 123183 KachelY + 1 25074 2.76341845 1.28523645 158.332214 73.638624
    Unten rechts KachelX + 1 123184 KachelY + 1 25074 2.76346639 1.28523645 158.334961 73.638624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28524995-1.28523645) × R
    1.35000000001106e-05 × 6371000     		dl = 86.0085000007049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28524995-1.28523645) × R
    1.35000000001106e-05 × 6371000     		dr = 86.0085000007049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76341845-2.76346639) × cos(1.28524995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281681746160541 × 6371000     		do = 86.032855765519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76341845-2.76346639) × cos(1.28523645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281694699491408 × 6371000     		du = 86.0368120461845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28524995)-sin(1.28523645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281681746160541-0.281694699491408)×R²
    abs(2.76346639-2.76341845)×1.29533308669272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29533308669272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29533308669272e-05×40589641000000     		ar = 7399.72701208859m²