Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123180 / 25028
↖ ↑ ↗
← N 73.674176°
E158.323975°		 ← 85.85 m → N 73.674176°
E158.326721°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.673405°
E158.323975°		 ← 85.86 m →
7 368 m²		 N 73.673405°
E158.326721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939792633056641 y=0.190952301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939792633056641 × 217)
    floor (0.939792633056641 × 131072)
    floor (123180.5)     		tx = 123180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190952301025391 × 217)
    floor (0.190952301025391 × 131072)
    floor (25028.5)     		ty = 25028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123180 / 25028 ti = "17/123180/25028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123180/25028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123180 ÷ 217
    123180 ÷ 131072     		x = 0.939788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25028 ÷ 217
    25028 ÷ 131072     		y = 0.190948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939788818359375 × 2 - 1) × π
    0.87957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76327464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190948486328125 × 2 - 1) × π
    0.61810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94182792980923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76327464} λ = 2.76327464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94182792980923))-π/2
    2×atan(6.97148271179105)-π/2
    2×1.42832664030169-π/2
    2.85665328060337-1.57079632675     		φ = 1.28585695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76327464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.323975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28585695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.674176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123180 KachelY 25028 2.76327464 1.28585695 158.323975 73.674176
    Oben rechts KachelX + 1 123181 KachelY 25028 2.76332258 1.28585695 158.326721 73.674176
    Unten links KachelX 123180 KachelY + 1 25029 2.76327464 1.28584348 158.323975 73.673405
    Unten rechts KachelX + 1 123181 KachelY + 1 25029 2.76332258 1.28584348 158.326721 73.673405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28585695-1.28584348) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dl = 85.8173700004519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28585695-1.28584348) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dr = 85.8173700004519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76327464-2.76332258) × cos(1.28585695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28109927301348 × 6371000     		do = 85.8549534735477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76327464-2.76332258) × cos(1.28584348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281112199860007 × 6371000     		du = 85.8589016652142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28585695)-sin(1.28584348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28109927301348-0.281112199860007)×R²
    abs(2.76332258-2.76327464)×1.29268465273724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29268465273724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29268465273724e-05×40589641000000     		ar = 7368.01572027396m²