Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12318 / 28658
↖ ↑ ↗
← S 79.142400°
W 44.670410°		 ← 230.12 m → S 79.142400°
W 44.659424°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 79.144469°
W 44.670410°		 ← 230.08 m →
52 935 m²		 S 79.144469°
W 44.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375930786132812 y=0.874588012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375930786132812 × 215)
    floor (0.375930786132812 × 32768)
    floor (12318.5)     		tx = 12318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874588012695312 × 215)
    floor (0.874588012695312 × 32768)
    floor (28658.5)     		ty = 28658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12318 / 28658 ti = "15/12318/28658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12318/28658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12318 ÷ 215
    12318 ÷ 32768     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28658 ÷ 215
    28658 ÷ 32768     		y = 0.87457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.7491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35351002374628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35351002374628))-π/2
    2×atan(0.0950350009915058)-π/2
    2×0.0947504338070645-π/2
    0.189500867614129-1.57079632675     		φ = -1.38129546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38129546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.142400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12318 KachelY 28658 -0.77964574 -1.38129546 -44.670410 -79.142400
    Oben rechts KachelX + 1 12319 KachelY 28658 -0.77945399 -1.38129546 -44.659424 -79.142400
    Unten links KachelX 12318 KachelY + 1 28659 -0.77964574 -1.38133157 -44.670410 -79.144469
    Unten rechts KachelX + 1 12319 KachelY + 1 28659 -0.77945399 -1.38133157 -44.659424 -79.144469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38129546--1.38133157) × R
    3.61099999999226e-05 × 6371000     		dl = 230.056809999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38129546--1.38133157) × R
    3.61099999999226e-05 × 6371000     		dr = 230.056809999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77945399) × cos(-1.38129546) × R
    0.000191749999999935 × 0.188368720549972 × 6371000     		do = 230.11862249605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77945399) × cos(-1.38133157) × R
    0.000191749999999935 × 0.188333256854721 × 6371000     		du = 230.075298653981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38129546)-sin(-1.38133157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188368720549972-0.188333256854721)×R²
    abs(-0.77945399--0.77964574)×3.54636952510645e-05×R²
    0.000191749999999935×3.54636952510645e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.54636952510645e-05×40589641000000     		ar = 52935.3727458894m²