Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12318 / 20060
↖ ↑ ↗
← S 37.405074°
W 44.670410°		 ← 970.42 m → S 37.405074°
W 44.659424°		 →
↑
970.37 m
↓
↑
970.37 m
↓
S 37.413800°
W 44.670410°		 ← 970.31 m →
941 611 m²		 S 37.413800°
W 44.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375930786132812 y=0.612197875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375930786132812 × 215)
    floor (0.375930786132812 × 32768)
    floor (12318.5)     		tx = 12318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612197875976562 × 215)
    floor (0.612197875976562 × 32768)
    floor (20060.5)     		ty = 20060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12318 / 20060 ti = "15/12318/20060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12318/20060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12318 ÷ 215
    12318 ÷ 32768     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20060 ÷ 215
    20060 ÷ 32768     		y = 0.6121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6121826171875 × 2 - 1) × π
    -0.224365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.704864172013306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704864172013306))-π/2
    2×atan(0.494175692587162)-π/2
    2×0.458977316459505-π/2
    0.91795463291901-1.57079632675     		φ = -0.65284169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65284169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.405074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12318 KachelY 20060 -0.77964574 -0.65284169 -44.670410 -37.405074
    Oben rechts KachelX + 1 12319 KachelY 20060 -0.77945399 -0.65284169 -44.659424 -37.405074
    Unten links KachelX 12318 KachelY + 1 20061 -0.77964574 -0.65299400 -44.670410 -37.413800
    Unten rechts KachelX + 1 12319 KachelY + 1 20061 -0.77945399 -0.65299400 -44.659424 -37.413800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65284169--0.65299400) × R
    0.000152309999999933 × 6371000     		dl = 970.367009999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65284169--0.65299400) × R
    0.000152309999999933 × 6371000     		dr = 970.367009999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77945399) × cos(-0.65284169) × R
    0.000191749999999935 × 0.794360834439696 × 6371000     		do = 970.422374013956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77945399) × cos(-0.65299400) × R
    0.000191749999999935 × 0.794268305098063 × 6371000     		du = 970.30933653844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65284169)-sin(-0.65299400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794360834439696-0.794268305098063)×R²
    abs(-0.77945399--0.77964574)×9.2529341632952e-05×R²
    0.000191749999999935×9.2529341632952e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.2529341632952e-05×40589641000000     		ar = 941611.015410417m²