Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123179 / 25137
↖ ↑ ↗
← N 73.589811°
E158.321228°		 ← 86.29 m → N 73.589811°
E158.323975°		 →
↑
86.33 m
↓
↑
86.33 m
↓
N 73.589034°
E158.321228°		 ← 86.29 m →
7 449 m²		 N 73.589034°
E158.323975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939785003662109 y=0.191783905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939785003662109 × 217)
    floor (0.939785003662109 × 131072)
    floor (123179.5)     		tx = 123179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191783905029297 × 217)
    floor (0.191783905029297 × 131072)
    floor (25137.5)     		ty = 25137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123179 / 25137 ti = "17/123179/25137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123179/25137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123179 ÷ 217
    123179 ÷ 131072     		x = 0.939781188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25137 ÷ 217
    25137 ÷ 131072     		y = 0.191780090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939781188964844 × 2 - 1) × π
    0.879562377929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.76322670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191780090332031 × 2 - 1) × π
    0.616439819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.93660280775065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76322670} λ = 2.76322670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93660280775065))-π/2
    2×atan(6.93515086551898)-π/2
    2×1.42759040721523-π/2
    2.85518081443046-1.57079632675     		φ = 1.28438449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76322670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.321228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28438449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.589811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123179 KachelY 25137 2.76322670 1.28438449 158.321228 73.589811
    Oben rechts KachelX + 1 123180 KachelY 25137 2.76327464 1.28438449 158.323975 73.589811
    Unten links KachelX 123179 KachelY + 1 25138 2.76322670 1.28437094 158.321228 73.589034
    Unten rechts KachelX + 1 123180 KachelY + 1 25138 2.76327464 1.28437094 158.323975 73.589034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28438449-1.28437094) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dl = 86.3270500001836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28438449-1.28437094) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dr = 86.3270500001836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76322670-2.76327464) × cos(1.28438449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282512056263899 × 6371000     		do = 86.2864538432663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76322670-2.76327464) × cos(1.28437094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282525054261748 × 6371000     		du = 86.2904237663779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28438449)-sin(1.28437094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282512056263899-0.282525054261748)×R²
    abs(2.76327464-2.76322670)×1.29979978489292e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29979978489292e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29979978489292e-05×40589641000000     		ar = 7449.02637121071m²