Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123178 / 25034
↖ ↑ ↗
← N 73.669543°
E158.318482°		 ← 85.86 m → N 73.669543°
E158.321228°		 →
↑
85.88 m
↓
↑
85.88 m
↓
N 73.668771°
E158.318482°		 ← 85.86 m →
7 374 m²		 N 73.668771°
E158.321228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939777374267578 y=0.190998077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939777374267578 × 217)
    floor (0.939777374267578 × 131072)
    floor (123178.5)     		tx = 123178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190998077392578 × 217)
    floor (0.190998077392578 × 131072)
    floor (25034.5)     		ty = 25034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123178 / 25034 ti = "17/123178/25034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123178/25034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123178 ÷ 217
    123178 ÷ 131072     		x = 0.939773559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25034 ÷ 217
    25034 ÷ 131072     		y = 0.190994262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939773559570312 × 2 - 1) × π
    0.879547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76317877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190994262695312 × 2 - 1) × π
    0.618011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94154030841151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76317877} λ = 2.76317877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94154030841151))-π/2
    2×atan(6.96947785252334)-π/2
    2×1.42828620963969-π/2
    2.85657241927939-1.57079632675     		φ = 1.28577609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76317877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.318482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28577609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.669543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123178 KachelY 25034 2.76317877 1.28577609 158.318482 73.669543
    Oben rechts KachelX + 1 123179 KachelY 25034 2.76322670 1.28577609 158.321228 73.669543
    Unten links KachelX 123178 KachelY + 1 25035 2.76317877 1.28576261 158.318482 73.668771
    Unten rechts KachelX + 1 123179 KachelY + 1 25035 2.76322670 1.28576261 158.321228 73.668771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28577609-1.28576261) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dl = 85.8810800000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28577609-1.28576261) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dr = 85.8810800000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76317877-2.76322670) × cos(1.28577609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.281176871713757 × 6371000     		do = 85.8607403356149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76317877-2.76322670) × cos(1.28576261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.281189807850588 × 6371000     		du = 85.864690540618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28577609)-sin(1.28576261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281176871713757-0.281189807850588)×R²
    abs(2.76322670-2.76317877)×1.29361368308989e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29361368308989e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29361368308989e-05×40589641000000     		ar = 7373.98273381611m²