Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123177 / 25001
↖ ↑ ↗
← N 73.695009°
E158.315735°		 ← 85.75 m → N 73.695009°
E158.318482°		 →
↑
85.69 m
↓
↑
85.69 m
↓
N 73.694238°
E158.315735°		 ← 85.75 m →
7 348 m²		 N 73.694238°
E158.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939769744873047 y=0.190746307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939769744873047 × 217)
    floor (0.939769744873047 × 131072)
    floor (123177.5)     		tx = 123177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190746307373047 × 217)
    floor (0.190746307373047 × 131072)
    floor (25001.5)     		ty = 25001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123177 / 25001 ti = "17/123177/25001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123177/25001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123177 ÷ 217
    123177 ÷ 131072     		x = 0.939765930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25001 ÷ 217
    25001 ÷ 131072     		y = 0.190742492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939765930175781 × 2 - 1) × π
    0.879531860351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.76313083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190742492675781 × 2 - 1) × π
    0.618515014648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.94312222609898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76313083} λ = 2.76313083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94312222609898))-π/2
    2×atan(6.98051171784299)-π/2
    2×1.42850844023736-π/2
    2.85701688047473-1.57079632675     		φ = 1.28622055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76313083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.315735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28622055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.695009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123177 KachelY 25001 2.76313083 1.28622055 158.315735 73.695009
    Oben rechts KachelX + 1 123178 KachelY 25001 2.76317877 1.28622055 158.318482 73.695009
    Unten links KachelX 123177 KachelY + 1 25002 2.76313083 1.28620710 158.315735 73.694238
    Unten rechts KachelX + 1 123178 KachelY + 1 25002 2.76317877 1.28620710 158.318482 73.694238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28622055-1.28620710) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dl = 85.6899499998116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28622055-1.28620710) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dr = 85.6899499998116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76313083-2.76317877) × cos(1.28622055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280750315266104 × 6371000     		do = 85.7483727953269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76313083-2.76317877) × cos(1.28620710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280763224293005 × 6371000     		du = 85.7523155444207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28622055)-sin(1.28620710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280750315266104-0.280763224293005)×R²
    abs(2.76317877-2.76313083)×1.29090269008758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29090269008758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29090269008758e-05×40589641000000     		ar = 7347.94270457871m²