Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123173 / 25190
↖ ↑ ↗
← N 73.548636°
E158.304748°		 ← 86.50 m → N 73.548636°
E158.307495°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.547857°
E158.304748°		 ← 86.50 m →
7 484 m²		 N 73.547857°
E158.307495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939739227294922 y=0.192188262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939739227294922 × 217)
    floor (0.939739227294922 × 131072)
    floor (123173.5)     		tx = 123173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192188262939453 × 217)
    floor (0.192188262939453 × 131072)
    floor (25190.5)     		ty = 25190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123173 / 25190 ti = "17/123173/25190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123173/25190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123173 ÷ 217
    123173 ÷ 131072     		x = 0.939735412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25190 ÷ 217
    25190 ÷ 131072     		y = 0.192184448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939735412597656 × 2 - 1) × π
    0.879470825195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.76293908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192184448242188 × 2 - 1) × π
    0.615631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93406215207079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76293908} λ = 2.76293908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93406215207079))-π/2
    2×atan(6.91755339909917)-π/2
    2×1.42723108663021-π/2
    2.85446217326042-1.57079632675     		φ = 1.28366585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76293908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.304748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28366585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.548636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123173 KachelY 25190 2.76293908 1.28366585 158.304748 73.548636
    Oben rechts KachelX + 1 123174 KachelY 25190 2.76298702 1.28366585 158.307495 73.548636
    Unten links KachelX 123173 KachelY + 1 25191 2.76293908 1.28365227 158.304748 73.547857
    Unten rechts KachelX + 1 123174 KachelY + 1 25191 2.76298702 1.28365227 158.307495 73.547857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28366585-1.28365227) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dl = 86.5181800004366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28366585-1.28365227) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dr = 86.5181800004366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76293908-2.76298702) × cos(1.28366585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283201348553617 × 6371000     		do = 86.4969814509298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76293908-2.76298702) × cos(1.28365227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283214372568764 × 6371000     		du = 86.5009593203939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28366585)-sin(1.28365227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283201348553617-0.283214372568764)×R²
    abs(2.76298702-2.76293908)×1.30240151470784e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30240151470784e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30240151470784e-05×40589641000000     		ar = 7483.73348978727m²