Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123172 / 25012
↖ ↑ ↗
← N 73.686525°
E158.302002°		 ← 85.77 m → N 73.686525°
E158.304748°		 →
↑
85.75 m
↓
↑
85.75 m
↓
N 73.685753°
E158.302002°		 ← 85.78 m →
7 356 m²		 N 73.685753°
E158.304748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939731597900391 y=0.190830230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939731597900391 × 217)
    floor (0.939731597900391 × 131072)
    floor (123172.5)     		tx = 123172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190830230712891 × 217)
    floor (0.190830230712891 × 131072)
    floor (25012.5)     		ty = 25012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123172 / 25012 ti = "17/123172/25012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123172/25012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123172 ÷ 217
    123172 ÷ 131072     		x = 0.939727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25012 ÷ 217
    25012 ÷ 131072     		y = 0.190826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939727783203125 × 2 - 1) × π
    0.87945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76289115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190826416015625 × 2 - 1) × π
    0.61834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94259492020316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76289115} λ = 2.76289115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94259492020316))-π/2
    2×atan(6.97683182315867)-π/2
    2×1.4284344008563-π/2
    2.85686880171261-1.57079632675     		φ = 1.28607247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76289115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28607247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.686525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123172 KachelY 25012 2.76289115 1.28607247 158.302002 73.686525
    Oben rechts KachelX + 1 123173 KachelY 25012 2.76293908 1.28607247 158.304748 73.686525
    Unten links KachelX 123172 KachelY + 1 25013 2.76289115 1.28605901 158.302002 73.685753
    Unten rechts KachelX + 1 123173 KachelY + 1 25013 2.76293908 1.28605901 158.304748 73.685753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28607247-1.28605901) × R
    1.34599999999097e-05 × 6371000     		dl = 85.7536599994244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28607247-1.28605901) × R
    1.34599999999097e-05 × 6371000     		dr = 85.7536599994244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76289115-2.76293908) × cos(1.28607247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280892436534242 × 6371000     		do = 85.7738846317948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76289115-2.76293908) × cos(1.28605901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28090535459918 × 6371000     		du = 85.7778293183278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28607247)-sin(1.28605901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280892436534242-0.28090535459918)×R²
    abs(2.76293908-2.76289115)×1.29180649375282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29180649375282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29180649375282e-05×40589641000000     		ar = 7355.59367547064m²