Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12317 / 20097
↖ ↑ ↗
← S 37.727280°
W 44.681396°		 ← 966.18 m → S 37.727280°
W 44.670410°		 →
↑
966.16 m
↓
↑
966.16 m
↓
S 37.735969°
W 44.681396°		 ← 966.07 m →
933 435 m²		 S 37.735969°
W 44.670410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375900268554688 y=0.613327026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375900268554688 × 215)
    floor (0.375900268554688 × 32768)
    floor (12317.5)     		tx = 12317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613327026367188 × 215)
    floor (0.613327026367188 × 32768)
    floor (20097.5)     		ty = 20097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12317 / 20097 ti = "15/12317/20097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12317/20097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12317 ÷ 215
    12317 ÷ 32768     		x = 0.375885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20097 ÷ 215
    20097 ÷ 32768     		y = 0.613311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.24822998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77983748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.22662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.711958833157074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77983748} λ = -0.77983748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711958833157074))-π/2
    2×atan(0.490682091116036)-π/2
    2×0.456165534078533-π/2
    0.912331068157066-1.57079632675     		φ = -0.65846526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77983748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.681396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65846526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.727280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12317 KachelY 20097 -0.77983748 -0.65846526 -44.681396 -37.727280
    Oben rechts KachelX + 1 12318 KachelY 20097 -0.77964574 -0.65846526 -44.670410 -37.727280
    Unten links KachelX 12317 KachelY + 1 20098 -0.77983748 -0.65861691 -44.681396 -37.735969
    Unten rechts KachelX + 1 12318 KachelY + 1 20098 -0.77964574 -0.65861691 -44.670410 -37.735969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65846526--0.65861691) × R
    0.000151649999999948 × 6371000     		dl = 966.162149999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65846526--0.65861691) × R
    0.000151649999999948 × 6371000     		dr = 966.162149999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77983748--0.77964574) × cos(-0.65846526) × R
    0.000191739999999996 × 0.790932275701082 × 6371000     		do = 966.183521792957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77983748--0.77964574) × cos(-0.65861691) × R
    0.000191739999999996 × 0.790839471410862 × 6371000     		du = 966.070154342017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65846526)-sin(-0.65861691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790932275701082-0.790839471410862)×R²
    abs(-0.77964574--0.77983748)×9.28042902204052e-05×R²
    0.000191739999999996×9.28042902204052e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.28042902204052e-05×40589641000000     		ar = 933435.1848288m²