Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12313 / 14695
↖ ↑ ↗
← N 18.239786°
W 44.725342°		 ← 1 160.20 m → N 18.239786°
W 44.714356°		 →
↑
1 160.29 m
↓
↑
1 160.29 m
↓
N 18.229351°
W 44.725342°		 ← 1 160.27 m →
1 346 202 m²		 N 18.229351°
W 44.714356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375778198242188 y=0.448471069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375778198242188 × 215)
    floor (0.375778198242188 × 32768)
    floor (12313.5)     		tx = 12313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448471069335938 × 215)
    floor (0.448471069335938 × 32768)
    floor (14695.5)     		ty = 14695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12313 / 14695 ti = "15/12313/14695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12313/14695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12313 ÷ 215
    12313 ÷ 32768     		x = 0.375762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14695 ÷ 215
    14695 ÷ 32768     		y = 0.448455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.24847412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78060447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    0.10308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.323861693833099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78060447} λ = -0.78060447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323861693833099))-π/2
    2×atan(1.3824560916937)-π/2
    2×0.944570323418157-π/2
    1.88914064683631-1.57079632675     		φ = 0.31834432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78060447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.725342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31834432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.239786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12313 KachelY 14695 -0.78060447 0.31834432 -44.725342 18.239786
    Oben rechts KachelX + 1 12314 KachelY 14695 -0.78041273 0.31834432 -44.714356 18.239786
    Unten links KachelX 12313 KachelY + 1 14696 -0.78060447 0.31816220 -44.725342 18.229351
    Unten rechts KachelX + 1 12314 KachelY + 1 14696 -0.78041273 0.31816220 -44.714356 18.229351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31834432-0.31816220) × R
    0.000182120000000008 × 6371000     		dl = 1160.28652000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31834432-0.31816220) × R
    0.000182120000000008 × 6371000     		dr = 1160.28652000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78060447--0.78041273) × cos(0.31834432) × R
    0.000191739999999996 × 0.949754938349607 × 6371000     		do = 1160.19740168206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78060447--0.78041273) × cos(0.31816220) × R
    0.000191739999999996 × 0.949811925157056 × 6371000     		du = 1160.26701537214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31834432)-sin(0.31816220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949754938349607-0.949811925157056)×R²
    abs(-0.78041273--0.78060447)×5.69868074488111e-05×R²
    0.000191739999999996×5.69868074488111e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.69868074488111e-05×40589641000000     		ar = 1346201.79534463m²