Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12312 / 20245
↖ ↑ ↗
← S 39.002110°
W 44.736328°		 ← 949.36 m → S 39.002110°
W 44.725342°		 →
↑
949.28 m
↓
↑
949.28 m
↓
S 39.010647°
W 44.736328°		 ← 949.25 m →
901 157 m²		 S 39.010647°
W 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375747680664062 y=0.617843627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375747680664062 × 215)
    floor (0.375747680664062 × 32768)
    floor (12312.5)     		tx = 12312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617843627929688 × 215)
    floor (0.617843627929688 × 32768)
    floor (20245.5)     		ty = 20245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12312 / 20245 ti = "15/12312/20245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12312/20245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12312 ÷ 215
    12312 ÷ 32768     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20245 ÷ 215
    20245 ÷ 32768     		y = 0.617828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.23565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.740337477732147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740337477732147))-π/2
    2×atan(0.476952927365335)-π/2
    2×0.445040543431936-π/2
    0.890081086863871-1.57079632675     		φ = -0.68071524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68071524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.002110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12312 KachelY 20245 -0.78079622 -0.68071524 -44.736328 -39.002110
    Oben rechts KachelX + 1 12313 KachelY 20245 -0.78060447 -0.68071524 -44.725342 -39.002110
    Unten links KachelX 12312 KachelY + 1 20246 -0.78079622 -0.68086424 -44.736328 -39.010647
    Unten rechts KachelX + 1 12313 KachelY + 1 20246 -0.78060447 -0.68086424 -44.725342 -39.010647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68071524--0.68086424) × R
    0.000148999999999955 × 6371000     		dl = 949.278999999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68071524--0.68086424) × R
    0.000148999999999955 × 6371000     		dr = 949.278999999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(-0.68071524) × R
    0.000191750000000046 × 0.777122781976022 × 6371000     		do = 949.363692531329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(-0.68086424) × R
    0.000191750000000046 × 0.777029000346795 × 6371000     		du = 949.249125212136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68071524)-sin(-0.68086424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777122781976022-0.777029000346795)×R²
    abs(-0.78060447--0.78079622)×9.37816292272409e-05×R²
    0.000191750000000046×9.37816292272409e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.37816292272409e-05×40589641000000     		ar = 901156.640174887m²