Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12312 / 14716
↖ ↑ ↗
← N 18.020528°
W 44.736328°		 ← 1 161.71 m → N 18.020528°
W 44.725342°		 →
↑
1 161.75 m
↓
↑
1 161.75 m
↓
N 18.010080°
W 44.736328°		 ← 1 161.78 m →
1 349 662 m²		 N 18.010080°
W 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375747680664062 y=0.449111938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375747680664062 × 215)
    floor (0.375747680664062 × 32768)
    floor (12312.5)     		tx = 12312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449111938476562 × 215)
    floor (0.449111938476562 × 32768)
    floor (14716.5)     		ty = 14716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12312 / 14716 ti = "15/12312/14716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12312/14716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12312 ÷ 215
    12312 ÷ 32768     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14716 ÷ 215
    14716 ÷ 32768     		y = 0.4490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319834994265015))-π/2
    2×atan(1.37690054910346)-π/2
    2×0.942656933681214-π/2
    1.88531386736243-1.57079632675     		φ = 0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12312 KachelY 14716 -0.78079622 0.31451754 -44.736328 18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 12313 KachelY 14716 -0.78060447 0.31451754 -44.725342 18.020528
    Unten links KachelX 12312 KachelY + 1 14717 -0.78079622 0.31433519 -44.736328 18.010080
    Unten rechts KachelX + 1 12313 KachelY + 1 14717 -0.78060447 0.31433519 -44.725342 18.010080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31451754-0.31433519) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dl = 1161.75184999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31451754-0.31433519) × R
    0.000182349999999998 × 6371000     		dr = 1161.75184999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(0.31451754) × R
    0.000191750000000046 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 1161.71264342124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(0.31433519) × R
    0.000191750000000046 × 0.951002137874277 × 6371000     		du = 1161.78153846141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31451754)-sin(0.31433519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.951002137874277)×R²
    abs(-0.78060447--0.78079622)×5.63955686323503e-05×R²
    0.000191750000000046×5.63955686323503e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.63955686323503e-05×40589641000000     		ar = 1349661.83587289m²