Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12311 / 28669
↖ ↑ ↗
← S 79.165141°
W 44.747315°		 ← 229.64 m → S 79.165141°
W 44.736328°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
S 79.167206°
W 44.747315°		 ← 229.60 m →
52 723 m²		 S 79.167206°
W 44.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375717163085938 y=0.874923706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375717163085938 × 215)
    floor (0.375717163085938 × 32768)
    floor (12311.5)     		tx = 12311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874923706054688 × 215)
    floor (0.874923706054688 × 32768)
    floor (28669.5)     		ty = 28669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12311 / 28669 ti = "15/12311/28669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12311/28669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12311 ÷ 215
    12311 ÷ 32768     		x = 0.375701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28669 ÷ 215
    28669 ÷ 32768     		y = 0.874908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.74981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35561924732956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78098797} λ = -0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35561924732956))-π/2
    2×atan(0.0948347621746303)-π/2
    2×0.094551983549915-π/2
    0.18910396709983-1.57079632675     		φ = -1.38169236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38169236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.165141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12311 KachelY 28669 -0.78098797 -1.38169236 -44.747315 -79.165141
    Oben rechts KachelX + 1 12312 KachelY 28669 -0.78079622 -1.38169236 -44.736328 -79.165141
    Unten links KachelX 12311 KachelY + 1 28670 -0.78098797 -1.38172840 -44.747315 -79.167206
    Unten rechts KachelX + 1 12312 KachelY + 1 28670 -0.78079622 -1.38172840 -44.736328 -79.167206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38169236--1.38172840) × R
    3.6040000000126e-05 × 6371000     		dl = 229.610840000803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38169236--1.38172840) × R
    3.6040000000126e-05 × 6371000     		dr = 229.610840000803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78098797--0.78079622) × cos(-1.38169236) × R
    0.000191749999999935 × 0.187978910876941 × 6371000     		do = 229.642415699445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78098797--0.78079622) × cos(-1.38172840) × R
    0.000191749999999935 × 0.187943513237615 × 6371000     		du = 229.599172553887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38169236)-sin(-1.38172840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187978910876941-0.187943513237615)×R²
    abs(-0.78079622--0.78098797)×3.53976393262234e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53976393262234e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53976393262234e-05×40589641000000     		ar = 52723.4234265788m²