Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12311 / 12640
↖ ↑ ↗
← S 69.411243°
E 90.505371°		 ← 859.18 m → S 69.411243°
E 90.527344°		 →
↑
859 m
↓
↑
859 m
↓
S 69.418968°
E 90.505371°		 ← 858.87 m →
737 901 m²		 S 69.418968°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751434326171875 y=0.771514892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751434326171875 × 214)
    floor (0.751434326171875 × 16384)
    floor (12311.5)     		tx = 12311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771514892578125 × 214)
    floor (0.771514892578125 × 16384)
    floor (12640.5)     		ty = 12640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12311 / 12640 ti = "14/12311/12640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12311/12640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12311 ÷ 214
    12311 ÷ 16384     		x = 0.75140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12640 ÷ 214
    12640 ÷ 16384     		y = 0.771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    0.5028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57961672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57961672} λ = 1.57961672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70578663608008))-π/2
    2×atan(0.181629453683338)-π/2
    2×0.179670804891561-π/2
    0.359341609783121-1.57079632675     		φ = -1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57961672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12311 KachelY 12640 1.57961672 -1.21145472 90.505371 -69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 12312 KachelY 12640 1.58000021 -1.21145472 90.527344 -69.411243
    Unten links KachelX 12311 KachelY + 1 12641 1.57961672 -1.21158955 90.505371 -69.418968
    Unten rechts KachelX + 1 12312 KachelY + 1 12641 1.58000021 -1.21158955 90.527344 -69.418968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21145472--1.21158955) × R
    0.000134829999999919 × 6371000     		dl = 859.001929999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21145472--1.21158955) × R
    0.000134829999999919 × 6371000     		dr = 859.001929999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57961672-1.58000021) × cos(-1.21145472) × R
    0.000383489999999931 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 859.175950535123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57961672-1.58000021) × cos(-1.21158955) × R
    0.000383489999999931 × 0.351531747448811 × 6371000     		du = 858.867564521325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21145472)-sin(-1.21158955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.351531747448811)×R²
    abs(1.58000021-1.57961672)×0.000126221409210481×R²
    0.000383489999999931×0.000126221409210481×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126221409210481×40589641000000     		ar = 737901.34874677m²