Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12310 / 14709
↖ ↑ ↗
← N 18.093644°
W 44.758301°		 ← 1 161.23 m → N 18.093644°
W 44.747315°		 →
↑
1 161.24 m
↓
↑
1 161.24 m
↓
N 18.083201°
W 44.758301°		 ← 1 161.30 m →
1 348 509 m²		 N 18.083201°
W 44.747315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375686645507812 y=0.448898315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375686645507812 × 215)
    floor (0.375686645507812 × 32768)
    floor (12310.5)     		tx = 12310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448898315429688 × 215)
    floor (0.448898315429688 × 32768)
    floor (14709.5)     		ty = 14709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12310 / 14709 ti = "15/12310/14709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12310/14709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12310 ÷ 215
    12310 ÷ 32768     		x = 0.37567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14709 ÷ 215
    14709 ÷ 32768     		y = 0.448883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448883056640625 × 2 - 1) × π
    0.10223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.321177227454376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78117972} λ = -0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321177227454376))-π/2
    2×atan(1.37874991157911)-π/2
    2×0.943294996495524-π/2
    1.88658999299105-1.57079632675     		φ = 0.31579367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31579367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.093644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12310 KachelY 14709 -0.78117972 0.31579367 -44.758301 18.093644
    Oben rechts KachelX + 1 12311 KachelY 14709 -0.78098797 0.31579367 -44.747315 18.093644
    Unten links KachelX 12310 KachelY + 1 14710 -0.78117972 0.31561140 -44.758301 18.083201
    Unten rechts KachelX + 1 12311 KachelY + 1 14710 -0.78098797 0.31561140 -44.747315 18.083201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31579367-0.31561140) × R
    0.00018227000000004 × 6371000     		dl = 1161.24217000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31579367-0.31561140) × R
    0.00018227000000004 × 6371000     		dr = 1161.24217000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78117972--0.78098797) × cos(0.31579367) × R
    0.000191750000000046 × 0.950550187442108 × 6371000     		do = 1161.22941807441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78117972--0.78098797) × cos(0.31561140) × R
    0.000191750000000046 × 0.950606779426773 × 6371000     		du = 1161.29855306412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31579367)-sin(0.31561140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950550187442108-0.950606779426773)×R²
    abs(-0.78098797--0.78117972)×5.6591984665566e-05×R²
    0.000191750000000046×5.6591984665566e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.6591984665566e-05×40589641000000     		ar = 1348508.71427896m²