Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12309 / 14710
↖ ↑ ↗
← N 18.083201°
W 44.769287°		 ← 1 161.24 m → N 18.083201°
W 44.758301°		 →
↑
1 161.37 m
↓
↑
1 161.37 m
↓
N 18.072757°
W 44.769287°		 ← 1 161.31 m →
1 348 667 m²		 N 18.072757°
W 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375656127929688 y=0.448928833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375656127929688 × 215)
    floor (0.375656127929688 × 32768)
    floor (12309.5)     		tx = 12309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448928833007812 × 215)
    floor (0.448928833007812 × 32768)
    floor (14710.5)     		ty = 14710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12309 / 14710 ti = "15/12309/14710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12309/14710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12309 ÷ 215
    12309 ÷ 32768     		x = 0.375640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14710 ÷ 215
    14710 ÷ 32768     		y = 0.44891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.24871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78137146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    0.1021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.320985479855896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78137146} λ = -0.78137146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320985479855896))-π/2
    2×atan(1.37848556493939)-π/2
    2×0.943203860924486-π/2
    1.88640772184897-1.57079632675     		φ = 0.31561140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78137146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31561140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.083201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12309 KachelY 14710 -0.78137146 0.31561140 -44.769287 18.083201
    Oben rechts KachelX + 1 12310 KachelY 14710 -0.78117972 0.31561140 -44.758301 18.083201
    Unten links KachelX 12309 KachelY + 1 14711 -0.78137146 0.31542911 -44.769287 18.072757
    Unten rechts KachelX + 1 12310 KachelY + 1 14711 -0.78117972 0.31542911 -44.758301 18.072757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31561140-0.31542911) × R
    0.000182289999999974 × 6371000     		dl = 1161.36958999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31561140-0.31542911) × R
    0.000182289999999974 × 6371000     		dr = 1161.36958999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78137146--0.78117972) × cos(0.31561140) × R
    0.000191739999999996 × 0.950606779426773 × 6371000     		do = 1161.2379899059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78137146--0.78117972) × cos(0.31542911) × R
    0.000191739999999996 × 0.950663346034534 × 6371000     		du = 1161.30709029032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31561140)-sin(0.31542911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950606779426773-0.950663346034534)×R²
    abs(-0.78117972--0.78137146)×5.65666077607663e-05×R²
    0.000191739999999996×5.65666077607663e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.65666077607663e-05×40589641000000     		ar = 1348666.61750609m²