Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123088 / 25008
↖ ↑ ↗
← N 73.689611°
E158.071289°		 ← 85.76 m → N 73.689611°
E158.074035°		 →
↑
85.75 m
↓
↑
85.75 m
↓
N 73.688839°
E158.071289°		 ← 85.76 m →
7 354 m²		 N 73.688839°
E158.074035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939090728759766 y=0.190799713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939090728759766 × 217)
    floor (0.939090728759766 × 131072)
    floor (123088.5)     		tx = 123088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190799713134766 × 217)
    floor (0.190799713134766 × 131072)
    floor (25008.5)     		ty = 25008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123088 / 25008 ti = "17/123088/25008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123088/25008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123088 ÷ 217
    123088 ÷ 131072     		x = 0.9390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25008 ÷ 217
    25008 ÷ 131072     		y = 0.1907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9390869140625 × 2 - 1) × π
    0.878173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.75886445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1907958984375 × 2 - 1) × π
    0.618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94278666780164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75886445} λ = 2.75886445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94278666780164))-π/2
    2×atan(6.97816974217304)-π/2
    2×1.42846132860311-π/2
    2.85692265720621-1.57079632675     		φ = 1.28612633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75886445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28612633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.689611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123088 KachelY 25008 2.75886445 1.28612633 158.071289 73.689611
    Oben rechts KachelX + 1 123089 KachelY 25008 2.75891238 1.28612633 158.074035 73.689611
    Unten links KachelX 123088 KachelY + 1 25009 2.75886445 1.28611287 158.071289 73.688839
    Unten rechts KachelX + 1 123089 KachelY + 1 25009 2.75891238 1.28611287 158.074035 73.688839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28612633-1.28611287) × R
    1.34600000001317e-05 × 6371000     		dl = 85.7536600008391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28612633-1.28611287) × R
    1.34600000001317e-05 × 6371000     		dr = 85.7536600008391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75886445-2.75891238) × cos(1.28612633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28084074457053 × 6371000     		do = 85.7580998688209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75886445-2.75891238) × cos(1.28611287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.280853662839088 × 6371000     		du = 85.762044617532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28612633)-sin(1.28611287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28084074457053-0.280853662839088)×R²
    abs(2.75891238-2.75886445)×1.29182685582596e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29182685582596e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29182685582596e-05×40589641000000     		ar = 7354.24007676531m²