Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12307 / 28665
↖ ↑ ↗
← S 79.156877°
W 44.791260°		 ← 229.82 m → S 79.156877°
W 44.780273°		 →
↑
229.80 m
↓
↑
229.80 m
↓
S 79.158944°
W 44.791260°		 ← 229.77 m →
52 807 m²		 S 79.158944°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375595092773438 y=0.874801635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375595092773438 × 215)
    floor (0.375595092773438 × 32768)
    floor (12307.5)     		tx = 12307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874801635742188 × 215)
    floor (0.874801635742188 × 32768)
    floor (28665.5)     		ty = 28665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12307 / 28665 ti = "15/12307/28665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12307/28665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12307 ÷ 215
    12307 ÷ 32768     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28665 ÷ 215
    28665 ÷ 32768     		y = 0.874786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.74957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35485225693564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35485225693564))-π/2
    2×atan(0.0949075274277859)-π/2
    2×0.0946240997189998-π/2
    0.189248199438-1.57079632675     		φ = -1.38154813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38154813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.156877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12307 KachelY 28665 -0.78175496 -1.38154813 -44.791260 -79.156877
    Oben rechts KachelX + 1 12308 KachelY 28665 -0.78156321 -1.38154813 -44.780273 -79.156877
    Unten links KachelX 12307 KachelY + 1 28666 -0.78175496 -1.38158420 -44.791260 -79.158944
    Unten rechts KachelX + 1 12308 KachelY + 1 28666 -0.78156321 -1.38158420 -44.780273 -79.158944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38154813--1.38158420) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dl = 229.801969999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38154813--1.38158420) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dr = 229.801969999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(-1.38154813) × R
    0.000191750000000046 × 0.188120567742378 × 6371000     		do = 229.815469286429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(-1.38158420) × R
    0.000191750000000046 × 0.18808514161587 × 6371000     		du = 229.772191339811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38154813)-sin(-1.38158420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188120567742378-0.18808514161587)×R²
    abs(-0.78156321--0.78175496)×3.54261265079758e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54261265079758e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54261265079758e-05×40589641000000     		ar = 52807.0749060478m²