Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12307 / 28659
↖ ↑ ↗
← S 79.144469°
W 44.791260°		 ← 230.08 m → S 79.144469°
W 44.780273°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 79.146538°
W 44.791260°		 ← 230.03 m →
52 925 m²		 S 79.146538°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375595092773438 y=0.874618530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375595092773438 × 215)
    floor (0.375595092773438 × 32768)
    floor (12307.5)     		tx = 12307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874618530273438 × 215)
    floor (0.874618530273438 × 32768)
    floor (28659.5)     		ty = 28659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12307 / 28659 ti = "15/12307/28659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12307/28659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12307 ÷ 215
    12307 ÷ 32768     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28659 ÷ 215
    28659 ÷ 32768     		y = 0.874603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.74920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35370177134476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35370177134476))-π/2
    2×atan(0.0950167800052651)-π/2
    2×0.0947323758824366-π/2
    0.189464751764873-1.57079632675     		φ = -1.38133157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38133157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.144469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12307 KachelY 28659 -0.78175496 -1.38133157 -44.791260 -79.144469
    Oben rechts KachelX + 1 12308 KachelY 28659 -0.78156321 -1.38133157 -44.780273 -79.144469
    Unten links KachelX 12307 KachelY + 1 28660 -0.78175496 -1.38136768 -44.791260 -79.146538
    Unten rechts KachelX + 1 12308 KachelY + 1 28660 -0.78156321 -1.38136768 -44.780273 -79.146538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38133157--1.38136768) × R
    3.61100000001446e-05 × 6371000     		dl = 230.056810000921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38133157--1.38136768) × R
    3.61100000001446e-05 × 6371000     		dr = 230.056810000921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(-1.38133157) × R
    0.000191750000000046 × 0.188333256854721 × 6371000     		do = 230.075298654114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(-1.38136768) × R
    0.000191750000000046 × 0.188297792913896 × 6371000     		du = 230.031974512043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38133157)-sin(-1.38136768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188333256854721-0.188297792913896)×R²
    abs(-0.78156321--0.78175496)×3.54639408250701e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54639408250701e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54639408250701e-05×40589641000000     		ar = 52925.4057678722m²