Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12307 / 20061
↖ ↑ ↗
← S 37.413800°
W 44.791260°		 ← 970.31 m → S 37.413800°
W 44.780273°		 →
↑
970.24 m
↓
↑
970.24 m
↓
S 37.422526°
W 44.791260°		 ← 970.20 m →
941 378 m²		 S 37.422526°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375595092773438 y=0.612228393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375595092773438 × 215)
    floor (0.375595092773438 × 32768)
    floor (12307.5)     		tx = 12307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612228393554688 × 215)
    floor (0.612228393554688 × 32768)
    floor (20061.5)     		ty = 20061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12307 / 20061 ti = "15/12307/20061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12307/20061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12307 ÷ 215
    12307 ÷ 32768     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20061 ÷ 215
    20061 ÷ 32768     		y = 0.612213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.22442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.705055919611786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705055919611786))-π/2
    2×atan(0.494080944669014)-π/2
    2×0.458901162504013-π/2
    0.917802325008026-1.57079632675     		φ = -0.65299400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65299400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.413800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12307 KachelY 20061 -0.78175496 -0.65299400 -44.791260 -37.413800
    Oben rechts KachelX + 1 12308 KachelY 20061 -0.78156321 -0.65299400 -44.780273 -37.413800
    Unten links KachelX 12307 KachelY + 1 20062 -0.78175496 -0.65314629 -44.791260 -37.422526
    Unten rechts KachelX + 1 12308 KachelY + 1 20062 -0.78156321 -0.65314629 -44.780273 -37.422526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65299400--0.65314629) × R
    0.000152290000000055 × 6371000     		dl = 970.23959000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65299400--0.65314629) × R
    0.000152290000000055 × 6371000     		dr = 970.23959000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(-0.65299400) × R
    0.000191750000000046 × 0.794268305098063 × 6371000     		do = 970.309336539002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(-0.65314629) × R
    0.000191750000000046 × 0.79417576948449 × 6371000     		du = 970.196291401438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65299400)-sin(-0.65314629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794268305098063-0.79417576948449)×R²
    abs(-0.78156321--0.78175496)×9.25356135735855e-05×R²
    0.000191750000000046×9.25356135735855e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.25356135735855e-05×40589641000000     		ar = 941377.694242249m²