Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12307 / 14711
↖ ↑ ↗
← N 18.072757°
W 44.791260°		 ← 1 161.37 m → N 18.072757°
W 44.780273°		 →
↑
1 161.37 m
↓
↑
1 161.37 m
↓
N 18.062312°
W 44.791260°		 ← 1 161.44 m →
1 348 817 m²		 N 18.062312°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375595092773438 y=0.448959350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375595092773438 × 215)
    floor (0.375595092773438 × 32768)
    floor (12307.5)     		tx = 12307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448959350585938 × 215)
    floor (0.448959350585938 × 32768)
    floor (14711.5)     		ty = 14711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12307 / 14711 ti = "15/12307/14711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12307/14711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12307 ÷ 215
    12307 ÷ 32768     		x = 0.375579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14711 ÷ 215
    14711 ÷ 32768     		y = 0.448944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.24884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78175496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448944091796875 × 2 - 1) × π
    0.10211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.320793732257416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78175496} λ = -0.78175496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320793732257416))-π/2
    2×atan(1.37822126898264)-π/2
    2×0.943112719929078-π/2
    1.88622543985816-1.57079632675     		φ = 0.31542911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78175496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.791260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31542911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.072757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12307 KachelY 14711 -0.78175496 0.31542911 -44.791260 18.072757
    Oben rechts KachelX + 1 12308 KachelY 14711 -0.78156321 0.31542911 -44.780273 18.072757
    Unten links KachelX 12307 KachelY + 1 14712 -0.78175496 0.31524682 -44.791260 18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 12308 KachelY + 1 14712 -0.78156321 0.31524682 -44.780273 18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31542911-0.31524682) × R
    0.000182290000000029 × 6371000     		dl = 1161.36959000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31542911-0.31524682) × R
    0.000182290000000029 × 6371000     		dr = 1161.36959000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(0.31542911) × R
    0.000191750000000046 × 0.950663346034534 × 6371000     		do = 1161.3676570524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78175496--0.78156321) × cos(0.31524682) × R
    0.000191750000000046 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 1161.43672244884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31542911)-sin(0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950663346034534-0.95071988105209)×R²
    abs(-0.78156321--0.78175496)×5.65350175562029e-05×R²
    0.000191750000000046×5.65350175562029e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.65350175562029e-05×40589641000000     		ar = 1348817.18867108m²