Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12307 / 12707
↖ ↑ ↗
← S 69.922759°
E 90.417481°		 ← 838.72 m → S 69.922759°
E 90.439453°		 →
↑
838.55 m
↓
↑
838.55 m
↓
S 69.930300°
E 90.417481°		 ← 838.42 m →
703 185 m²		 S 69.930300°
E 90.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751190185546875 y=0.775604248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751190185546875 × 214)
    floor (0.751190185546875 × 16384)
    floor (12307.5)     		tx = 12307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775604248046875 × 214)
    floor (0.775604248046875 × 16384)
    floor (12707.5)     		ty = 12707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12307 / 12707 ti = "14/12307/12707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12307/12707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12307 ÷ 214
    12307 ÷ 16384     		x = 0.75115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12707 ÷ 214
    12707 ÷ 16384     		y = 0.77557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75115966796875 × 2 - 1) × π
    0.5023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57808274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.5511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57808274} λ = 1.57808274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73148081427643))-π/2
    2×atan(0.177022078964292)-π/2
    2×0.175206983451611-π/2
    0.350413966903222-1.57079632675     		φ = -1.22038236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57808274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22038236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.922759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12307 KachelY 12707 1.57808274 -1.22038236 90.417481 -69.922759
    Oben rechts KachelX + 1 12308 KachelY 12707 1.57846623 -1.22038236 90.439453 -69.922759
    Unten links KachelX 12307 KachelY + 1 12708 1.57808274 -1.22051398 90.417481 -69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 12308 KachelY + 1 12708 1.57846623 -1.22051398 90.439453 -69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22038236--1.22051398) × R
    0.000131619999999888 × 6371000     		dl = 838.551019999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22038236--1.22051398) × R
    0.000131619999999888 × 6371000     		dr = 838.551019999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57808274-1.57846623) × cos(-1.22038236) × R
    0.000383490000000153 × 0.343286647174553 × 6371000     		do = 838.723013586714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57808274-1.57846623) × cos(-1.22051398) × R
    0.000383490000000153 × 0.343163022658756 × 6371000     		du = 838.420972341312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22038236)-sin(-1.22051398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343286647174553-0.343163022658756)×R²
    abs(1.57846623-1.57808274)×0.000123624515797172×R²
    0.000383490000000153×0.000123624515797172×6371000²
    0.000383490000000153×0.000123624515797172×40589641000000     		ar = 703185.401059099m²