Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12306 / 28657
↖ ↑ ↗
← S 79.140331°
W 44.802246°		 ← 230.16 m → S 79.140331°
W 44.791260°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 79.142400°
W 44.802246°		 ← 230.12 m →
52 960 m²		 S 79.142400°
W 44.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375564575195312 y=0.874557495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375564575195312 × 215)
    floor (0.375564575195312 × 32768)
    floor (12306.5)     		tx = 12306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874557495117188 × 215)
    floor (0.874557495117188 × 32768)
    floor (28657.5)     		ty = 28657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12306 / 28657 ti = "15/12306/28657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12306/28657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12306 ÷ 215
    12306 ÷ 32768     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28657 ÷ 215
    28657 ÷ 32768     		y = 0.874542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.74908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3533182761478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3533182761478))-π/2
    2×atan(0.0950532254719118)-π/2
    2×0.0947684951325908-π/2
    0.189536990265182-1.57079632675     		φ = -1.38125934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38125934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.140331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12306 KachelY 28657 -0.78194671 -1.38125934 -44.802246 -79.140331
    Oben rechts KachelX + 1 12307 KachelY 28657 -0.78175496 -1.38125934 -44.791260 -79.140331
    Unten links KachelX 12306 KachelY + 1 28658 -0.78194671 -1.38129546 -44.802246 -79.142400
    Unten rechts KachelX + 1 12307 KachelY + 1 28658 -0.78175496 -1.38129546 -44.791260 -79.142400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38125934--1.38129546) × R
    3.61200000000839e-05 × 6371000     		dl = 230.120520000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38125934--1.38129546) × R
    3.61200000000839e-05 × 6371000     		dr = 230.120520000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78175496) × cos(-1.38125934) × R
    0.000191750000000046 × 0.188404193820519 × 6371000     		do = 230.161958035809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78175496) × cos(-1.38129546) × R
    0.000191750000000046 × 0.188368720549972 × 6371000     		du = 230.118622496183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38125934)-sin(-1.38129546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188404193820519-0.188368720549972)×R²
    abs(-0.78175496--0.78194671)×3.54732705469818e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54732705469818e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54732705469818e-05×40589641000000     		ar = 52960.0032747927m²