Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12305 / 20271
↖ ↑ ↗
← S 39.223743°
W 44.813232°		 ← 946.33 m → S 39.223743°
W 44.802246°		 →
↑
946.28 m
↓
↑
946.28 m
↓
S 39.232253°
W 44.813232°		 ← 946.22 m →
895 446 m²		 S 39.232253°
W 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375534057617188 y=0.618637084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375534057617188 × 215)
    floor (0.375534057617188 × 32768)
    floor (12305.5)     		tx = 12305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618637084960938 × 215)
    floor (0.618637084960938 × 32768)
    floor (20271.5)     		ty = 20271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12305 / 20271 ti = "15/12305/20271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12305/20271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12305 ÷ 215
    12305 ÷ 32768     		x = 0.375518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20271 ÷ 215
    20271 ÷ 32768     		y = 0.618621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78213845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.23724365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.745322915292633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78213845} λ = -0.78213845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745322915292633))-π/2
    2×atan(0.474581025723151)-π/2
    2×0.443106435509447-π/2
    0.886212871018895-1.57079632675     		φ = -0.68458346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78213845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68458346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.223743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12305 KachelY 20271 -0.78213845 -0.68458346 -44.813232 -39.223743
    Oben rechts KachelX + 1 12306 KachelY 20271 -0.78194671 -0.68458346 -44.802246 -39.223743
    Unten links KachelX 12305 KachelY + 1 20272 -0.78213845 -0.68473199 -44.813232 -39.232253
    Unten rechts KachelX + 1 12306 KachelY + 1 20272 -0.78194671 -0.68473199 -44.802246 -39.232253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68458346--0.68473199) × R
    0.000148529999999925 × 6371000     		dl = 946.284629999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68458346--0.68473199) × R
    0.000148529999999925 × 6371000     		dr = 946.284629999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78213845--0.78194671) × cos(-0.68458346) × R
    0.000191739999999996 × 0.774682513517526 × 6371000     		do = 946.333209778709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78213845--0.78194671) × cos(-0.68473199) × R
    0.000191739999999996 × 0.774588581970713 × 6371000     		du = 946.218465298688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68458346)-sin(-0.68473199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774682513517526-0.774588581970713)×R²
    abs(-0.78194671--0.78213845)×9.39315468130308e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39315468130308e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39315468130308e-05×40589641000000     		ar = 895446.282449387m²