Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12300 / 12700
↖ ↑ ↗
← S 69.869892°
E 90.263672°		 ← 840.84 m → S 69.869892°
E 90.285644°		 →
↑
840.65 m
↓
↑
840.65 m
↓
S 69.877452°
E 90.263672°		 ← 840.54 m →
706 728 m²		 S 69.877452°
E 90.285644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750762939453125 y=0.775177001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750762939453125 × 214)
    floor (0.750762939453125 × 16384)
    floor (12300.5)     		tx = 12300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775177001953125 × 214)
    floor (0.775177001953125 × 16384)
    floor (12700.5)     		ty = 12700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12300 / 12700 ti = "14/12300/12700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12300/12700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12300 ÷ 214
    12300 ÷ 16384     		x = 0.750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12700 ÷ 214
    12700 ÷ 16384     		y = 0.775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    0.50146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57539827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.55029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72879634789771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57539827} λ = 1.57539827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72879634789771))-π/2
    2×atan(0.177497927197094)-π/2
    2×0.1756683354844-π/2
    0.3513366709688-1.57079632675     		φ = -1.21945966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57539827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21945966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.869892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12300 KachelY 12700 1.57539827 -1.21945966 90.263672 -69.869892
    Oben rechts KachelX + 1 12301 KachelY 12700 1.57578176 -1.21945966 90.285644 -69.869892
    Unten links KachelX 12300 KachelY + 1 12701 1.57539827 -1.21959161 90.263672 -69.877452
    Unten rechts KachelX + 1 12301 KachelY + 1 12701 1.57578176 -1.21959161 90.285644 -69.877452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21945966--1.21959161) × R
    0.000131949999999881 × 6371000     		dl = 840.65344999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21945966--1.21959161) × R
    0.000131949999999881 × 6371000     		dr = 840.65344999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57539827-1.57578176) × cos(-1.21945966) × R
    0.000383489999999931 × 0.344153129070886 × 6371000     		do = 840.840014970617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57539827-1.57578176) × cos(-1.21959161) × R
    0.000383489999999931 × 0.344029236434484 × 6371000     		du = 840.537318648987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21945966)-sin(-1.21959161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344153129070886-0.344029236434484)×R²
    abs(1.57578176-1.57539827)×0.000123892636402168×R²
    0.000383489999999931×0.000123892636402168×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123892636402168×40589641000000     		ar = 706727.829153753m²