Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1230 / 943
↖ ↑ ↗
← N 14.093957°
E 36.210937°		 ← 18.958 km → N 14.093957°
E 36.386719°		 →
↑
18.965 km
↓
↑
18.965 km
↓
N 13.923404°
E 36.210937°		 ← 18.972 km →
359.660 km²		 N 13.923404°
E 36.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600830078125 y=0.460693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600830078125 × 211)
    floor (0.600830078125 × 2048)
    floor (1230.5)     		tx = 1230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460693359375 × 211)
    floor (0.460693359375 × 2048)
    floor (943.5)     		ty = 943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1230 / 943 ti = "11/1230/943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1230/943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1230 ÷ 211
    1230 ÷ 2048     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 943 ÷ 211
    943 ÷ 2048     		y = 0.46044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248504887630371))-π/2
    2×atan(1.28210708881954)-π/2
    2×0.908391142088169-π/2
    1.81678228417634-1.57079632675     		φ = 0.24598596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24598596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.093957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1230 KachelY 943 0.63200008 0.24598596 36.210937 14.093957
    Oben rechts KachelX + 1 1231 KachelY 943 0.63506805 0.24598596 36.386719 14.093957
    Unten links KachelX 1230 KachelY + 1 944 0.63200008 0.24300924 36.210937 13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 1231 KachelY + 1 944 0.63506805 0.24300924 36.386719 13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24598596-0.24300924) × R
    0.00297672000000002 × 6371000     		dl = 18964.6831200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24598596-0.24300924) × R
    0.00297672000000002 × 6371000     		dr = 18964.6831200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63506805) × cos(0.24598596) × R
    0.00306797000000003 × 0.96989770263388 × 6371000     		do = 18957.6562558103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63506805) × cos(0.24300924) × R
    0.00306797000000003 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 18971.7405643488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24598596)-sin(0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96989770263388-0.970618273695534)×R²
    abs(0.63506805-0.63200008)×0.000720571061653352×R²
    0.00306797000000003×0.000720571061653352×6371000²
    0.00306797000000003×0.000720571061653352×40589641000000     		ar = 359659761.388193m²