Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1230 / 941
↖ ↑ ↗
← N 14.434680°
E 36.210937°		 ← 18.929 km → N 14.434680°
E 36.386719°		 →
↑
18.936 km
↓
↑
18.936 km
↓
N 14.264383°
E 36.210937°		 ← 18.943 km →
358.580 km²		 N 14.264383°
E 36.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600830078125 y=0.459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600830078125 × 211)
    floor (0.600830078125 × 2048)
    floor (1230.5)     		tx = 1230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459716796875 × 211)
    floor (0.459716796875 × 2048)
    floor (941.5)     		ty = 941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1230 / 941 ti = "11/1230/941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1230/941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1230 ÷ 211
    1230 ÷ 2048     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 941 ÷ 211
    941 ÷ 2048     		y = 0.45947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254640810781738))-π/2
    2×atan(1.2899981842078)-π/2
    2×0.911364511508635-π/2
    1.82272902301727-1.57079632675     		φ = 0.25193270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25193270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.434680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1230 KachelY 941 0.63200008 0.25193270 36.210937 14.434680
    Oben rechts KachelX + 1 1231 KachelY 941 0.63506805 0.25193270 36.386719 14.434680
    Unten links KachelX 1230 KachelY + 1 942 0.63200008 0.24896045 36.210937 14.264383
    Unten rechts KachelX + 1 1231 KachelY + 1 942 0.63506805 0.24896045 36.386719 14.264383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25193270-0.24896045) × R
    0.00297225000000001 × 6371000     		dl = 18936.2047500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25193270-0.24896045) × R
    0.00297225000000001 × 6371000     		dr = 18936.2047500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63506805) × cos(0.25193270) × R
    0.00306797000000003 × 0.968432454773362 × 6371000     		do = 18929.0164671049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63506805) × cos(0.24896045) × R
    0.00306797000000003 × 0.969169086915728 × 6371000     		du = 18943.4147061192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25193270)-sin(0.24896045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968432454773362-0.969169086915728)×R²
    abs(0.63506805-0.63200008)×0.000736632142365745×R²
    0.00306797000000003×0.000736632142365745×6371000²
    0.00306797000000003×0.000736632142365745×40589641000000     		ar = 358580319.521216m²