Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1230 / 1038
↖ ↑ ↗
← N 66.018018°
W 71.894531°		 ← 3 972.22 m → N 66.018018°
W 71.806640°		 →
↑
3 974.99 m
↓
↑
3 974.99 m
↓
N 65.982270°
W 71.894531°		 ← 3 977.79 m →
15 800 639 m²		 N 65.982270°
W 71.806640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3004150390625 y=0.2535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3004150390625 × 212)
    floor (0.3004150390625 × 4096)
    floor (1230.5)     		tx = 1230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2535400390625 × 212)
    floor (0.2535400390625 × 4096)
    floor (1038.5)     		ty = 1038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1230 / 1038 ti = "12/1230/1038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1230/1038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1230 ÷ 212
    1230 ÷ 4096     		x = 0.30029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1038 ÷ 212
    1038 ÷ 4096     		y = 0.25341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.25479628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25341796875 × 2 - 1) × π
    0.4931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25479628} λ = -1.25479628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54932059572021))-π/2
    2×atan(4.70827027672257)-π/2
    2×1.36151405464835-π/2
    2.7230281092967-1.57079632675     		φ = 1.15223178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25479628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15223178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.018018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1230 KachelY 1038 -1.25479628 1.15223178 -71.894531 66.018018
    Oben rechts KachelX + 1 1231 KachelY 1038 -1.25326230 1.15223178 -71.806640 66.018018
    Unten links KachelX 1230 KachelY + 1 1039 -1.25479628 1.15160786 -71.894531 65.982270
    Unten rechts KachelX + 1 1231 KachelY + 1 1039 -1.25326230 1.15160786 -71.806640 65.982270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15223178-1.15160786) × R
    0.00062392 × 6371000     		dl = 3974.99432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15223178-1.15160786) × R
    0.00062392 × 6371000     		dr = 3974.99432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25479628--1.25326230) × cos(1.15223178) × R
    0.00153398000000005 × 0.406449336963359 × 6371000     		do = 3972.22391559293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25479628--1.25326230) × cos(1.15160786) × R
    0.00153398000000005 × 0.407019316873945 × 6371000     		du = 3977.79432160995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15223178)-sin(1.15160786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406449336963359-0.407019316873945)×R²
    abs(-1.25326230--1.25479628)×0.000569979910585938×R²
    0.00153398000000005×0.000569979910585938×6371000²
    0.00153398000000005×0.000569979910585938×40589641000000     		ar = 15800639.1809582m²