Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12291 / 20076
↖ ↑ ↗
← S 37.544577°
W 44.967041°		 ← 968.61 m → S 37.544577°
W 44.956055°		 →
↑
968.52 m
↓
↑
968.52 m
↓
S 37.553287°
W 44.967041°		 ← 968.50 m →
938 065 m²		 S 37.553287°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375106811523438 y=0.612686157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375106811523438 × 215)
    floor (0.375106811523438 × 32768)
    floor (12291.5)     		tx = 12291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612686157226562 × 215)
    floor (0.612686157226562 × 32768)
    floor (20076.5)     		ty = 20076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12291 / 20076 ti = "15/12291/20076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12291/20076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12291 ÷ 215
    12291 ÷ 32768     		x = 0.375091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20076 ÷ 215
    20076 ÷ 32768     		y = 0.6126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.24981689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78482292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.707932133588989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78482292} λ = -0.78482292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707932133588989))-π/2
    2×atan(0.492661903860855)-π/2
    2×0.457759918146207-π/2
    0.915519836292414-1.57079632675     		φ = -0.65527649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78482292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65527649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.544577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12291 KachelY 20076 -0.78482292 -0.65527649 -44.967041 -37.544577
    Oben rechts KachelX + 1 12292 KachelY 20076 -0.78463117 -0.65527649 -44.956055 -37.544577
    Unten links KachelX 12291 KachelY + 1 20077 -0.78482292 -0.65542851 -44.967041 -37.553287
    Unten rechts KachelX + 1 12292 KachelY + 1 20077 -0.78463117 -0.65542851 -44.956055 -37.553287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65527649--0.65542851) × R
    0.00015202000000003 × 6371000     		dl = 968.519420000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65527649--0.65542851) × R
    0.00015202000000003 × 6371000     		dr = 968.519420000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78482292--0.78463117) × cos(-0.65527649) × R
    0.000191749999999935 × 0.792879471351661 × 6371000     		do = 968.612682722111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78482292--0.78463117) × cos(-0.65542851) × R
    0.000191749999999935 × 0.792786824472234 × 6371000     		du = 968.499501657814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65527649)-sin(-0.65542851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792879471351661-0.792786824472234)×R²
    abs(-0.78463117--0.78482292)×9.26468794264501e-05×R²
    0.000191749999999935×9.26468794264501e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.26468794264501e-05×40589641000000     		ar = 938065.386452316m²