Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1229 / 942
↖ ↑ ↗
← N 14.264383°
E 36.035156°		 ← 18.943 km → N 14.264383°
E 36.210937°		 →
↑
18.950 km
↓
↑
18.950 km
↓
N 14.093957°
E 36.035156°		 ← 18.958 km →
359.121 km²		 N 14.093957°
E 36.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600341796875 y=0.460205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600341796875 × 211)
    floor (0.600341796875 × 2048)
    floor (1229.5)     		tx = 1229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460205078125 × 211)
    floor (0.460205078125 × 2048)
    floor (942.5)     		ty = 942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1229 / 942 ti = "11/1229/942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1229/942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1229 ÷ 211
    1229 ÷ 2048     		x = 0.60009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 942 ÷ 211
    942 ÷ 2048     		y = 0.4599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62893212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    0.080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.251572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62893212} λ = 0.62893212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.251572849206055))-π/2
    2×atan(1.28604658412406)-π/2
    2×0.909878388715845-π/2
    1.81975677743169-1.57079632675     		φ = 0.24896045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62893212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24896045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.264383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1229 KachelY 942 0.62893212 0.24896045 36.035156 14.264383
    Oben rechts KachelX + 1 1230 KachelY 942 0.63200008 0.24896045 36.210937 14.264383
    Unten links KachelX 1229 KachelY + 1 943 0.62893212 0.24598596 36.035156 14.093957
    Unten rechts KachelX + 1 1230 KachelY + 1 943 0.63200008 0.24598596 36.210937 14.093957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24896045-0.24598596) × R
    0.00297449 × 6371000     		dl = 18950.47579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24896045-0.24598596) × R
    0.00297449 × 6371000     		dr = 18950.47579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62893212-0.63200008) × cos(0.24896045) × R
    0.00306795999999998 × 0.969169086915728 × 6371000     		do = 18943.3529603564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62893212-0.63200008) × cos(0.24598596) × R
    0.00306795999999998 × 0.96989770263388 × 6371000     		du = 18957.5944636274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24896045)-sin(0.24598596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969169086915728-0.96989770263388)×R²
    abs(0.63200008-0.62893212)×0.000728615718152414×R²
    0.00306795999999998×0.000728615718152414×6371000²
    0.00306795999999998×0.000728615718152414×40589641000000     		ar = 359120758.067631m²